EliasM.Stein、RamiShakarchi所著的《復(fù)分析》由在國際上享有盛譽普林斯大林頓大學(xué)教授Stein等撰寫而成，是一部為數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)大學(xué)二年級和三年級學(xué)生編寫的教材，理論與實踐并重。為了便于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)，全書內(nèi)容簡明、易懂,讀者只需掌握微積分和線性代數(shù)知識。本書已被哈佛大學(xué)和加利福尼亞理工學(xué)院選為教材。
從２０００ 年春季開始， 四個學(xué)斯的系列課程在普林斯頓大學(xué)講授， 其目的是用統(tǒng)一的方法去展現(xiàn)分析學(xué)的核心內(nèi)容． 我們的目的不僅是為了生動說明存在于分析學(xué)各個部分之間的有機統(tǒng)一， 還是為了闡述這門學(xué)科的方法在數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域和其他自然科學(xué)的廣泛應(yīng)用． 本書是對講稿的一個詳細闡述．雖然有許多優(yōu)秀教材涉及我們覆蓋的單個部分， 但是我們的目標不同： 不是以單個學(xué)科， 而是以高度的互相聯(lián)系來展示分析學(xué)的各種不同的子領(lǐng)域． 總的來說，我們的觀點是觀察到的這些聯(lián)系以及所產(chǎn)生的協(xié)同效應(yīng)將激發(fā)讀者更好地理解這門學(xué)科． 記住這點， 我們專注于形成該學(xué)科的主要方法和定理（有時會忽略掉更為系統(tǒng)的方法）， 并嚴格按照該學(xué)科發(fā)展的邏輯順序進行．我們將分析學(xué)的內(nèi)容分成四冊， 每一冊反映一個學(xué)期所包含的內(nèi)容， 這四冊的書名如下：
�、瘛�。 傅里葉分析導(dǎo)論．Ⅱ。。 復(fù)分析．Ⅲ。。 實分析： 測度論、積分以及希爾伯特空間．Ⅳ。。 泛涵分析： 分析中的幾個論題．但是這個列表既沒有完全給出分析學(xué)所展現(xiàn)的許多內(nèi)部聯(lián)系， 也沒有完全呈現(xiàn)出分析學(xué)在其他數(shù)學(xué)分支中的顯著應(yīng)用． 下面給出幾個例子： 第一冊中所研究的初等（有限的） Ｆｏｕｒｉｅｒ 級數(shù)引出了Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ 特征， 并由此使用等差數(shù)列得到素數(shù)有無窮多個； Ｘ。射線和Ｒａｄｏｎ 變換出現(xiàn)在第一冊的許多問題中， 并且在第三冊中對理解二維和三維的Ｂｅｓｉｃｏｖｉｔｃｈ 型集合起著重要作用； Ｆａｔｏｕ 定理斷言單位圓盤上的有界解析函數(shù)的邊界值存在， 并且其證明依賴于前三冊書中所形成的方法； 在第一冊中， θ 函數(shù)首次出現(xiàn)在熱方程的解中， 接著第二冊使用θ 函數(shù)找到一個整數(shù)能表示成兩個或四個數(shù)的平方和的個數(shù)， 并且考慮ζ 函數(shù)的解析延拓．對于這些書以及這門課程還有幾何額外的話． 一學(xué)期使用４８ 個課時， 在很緊湊的時間內(nèi)結(jié)束這些課程， 每周習(xí)題具有不可或缺的作用， 因此， 練習(xí)和問題在我們的書中有同樣重要的作用． 每個章節(jié)后面都有一系列“ 練習(xí)”， 有些習(xí)題簡單，而有些則可能需要更多的努力才能完成． 為此， 我們給出了大量有用的提示來幫助讀者完成大多數(shù)的習(xí)題． 此外， 也有許多更復(fù)雜和富于挑戰(zhàn)的“問題”， 特別是用星號標記的問題是最難的或者超出了正文的內(nèi)容范圍．盡管不同的分冊之間存在大量的聯(lián)系， 但是我們還是提供了足夠的重復(fù)內(nèi)容，以便只需要前三本書的極少的預(yù)備知識： 只需要熟悉分析學(xué)中初等知識， 例如極前言Ⅴ 限、極數(shù)、可微函數(shù)和Ｒｉｅｍａｎｎ 積分， 還需要一些有關(guān)線性代數(shù)的知識． 這使得對不同學(xué)科（如數(shù)學(xué)、物理、工程和金融） 感興趣的本科生和研究生都易于理解本系列叢書．我們懷著無比喜悅的心情對所有幫助本系列叢書出版的人員表示感謝． 我們特別感謝參與這四門課程的學(xué)生． 他們持續(xù)的興趣、熱情和奉獻精神所帶來的鼓勵促使我們有可能完成這項工作． 我們也要感謝Ａｄｒｉａｎ Ｂａｎｎｅｒ 和Ｊｏｓｅ Ｌｕｉｓ Ｒｏｄｒｉｇｏ， 因為他們在講授本系列叢書時給予了特殊幫助并且努力查看每個班級的學(xué)生的學(xué)習(xí)情況． 此外， Ａｄｒｉａｎ Ｂａｎｎｅｒ 也對正文提出了寶貴的建議．我們還特別感謝以下幾個人： Ｃｈａｒｌｅｓ Ｆｅｆｆｅｒｍａｎ， 他講授第一周的課程（成攻地開啟了這項工作的大門）； Ｐａｕｌ Ｈａｇｅｌｓｔｅｉｎ， 他除了閱讀一門課程的部分手稿， 還接管了本系列叢書的第二輪教學(xué)工作； Ｄａｎｉｅｌ Ｌｅｖｉｎｅ， 他在校對過程中提供了有價值的幫助． 最后， 我們同樣感謝Ｇｅｒｒｅｅ Ｐｅｃｈｔ， 因為她很熟練地進行排版并且花了時間和精力為這些課程做準備工作， 諸如幻燈片、筆記和手稿．我們還要感謝普林斯頓大學(xué)的２５０ 周年紀念基金和美國國家科學(xué)基金會的ＶＩ。ＧＲＥ 項目的資金支持．伊萊亞斯Ｍ。。 斯坦恩拉米·沙卡什于普林斯頓２００２ 年８ 月
譯者的話這是我翻譯的第一本書， 而本書的難度又特別高， 所以， 對我來說真是一個挑戰(zhàn)． 還好有幾位朋友相助， 幫我校正譯稿， 為本書增色不少． 其中最感謝的是夏愛生， 他在忙碌的全職工作之余， 特別抽空為我校稿， 我從他專業(yè)的翻譯過程中學(xué)到了不少技巧．本書如果在翻譯上還有未盡人意之處， 那是本人的疏忽， 歡迎各界朋友不吝賜教． 為了讓大家能夠更加理解原書的本意， 我在此列舉出一些翻譯時我斟酌再三而定的翻譯方式， 可能在別的書中翻譯會不一樣， 所以把原文也列出來供大家參考．ｔｏｙ ｃｏｎｔｏｕｒ， 英文直譯是“玩具， 周線”， 本書中有時沒有出現(xiàn)ｔｏｙ 而只是ｃｏｎ。ｔｏｕｒ， 我都翻譯成“周線”， 是指曲線積分的封閉曲線．ｋｅｙｈｏｌｅ， 英文直譯是“ 鎖眼”， 在本書中是一種曲線的類型， 如ｔｈｅ ｋｅｙｈｏｌｅｃｏｎｔｏｕｒ， 因為周線形似鎖眼， 所以我翻譯成“鎖眼周線”， 再如ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｋｅｙｈｏｌｅ和Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｋｅｙｈｏｌｅ， 我分別翻譯成“多鎖眼” 和“矩形鎖眼”．ｍｏｄｅｒａｔｅ ｄｅｃｒｅａｓｅ， 英文直譯是“適當(dāng)?shù)販p少”， 在本書中我翻譯成“ 微減”，表示函數(shù)較慢的遞減速度， 它的具體意思在原書的１１２ 頁腳注中給出．本書第９ 章最后出現(xiàn)的“ｆｏｒｂｉｄｄｅｎ Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ ｓｅｒｉｅｓ” 是第１０ 章中用于證明四平方定理的重要方法． 我翻譯成“禁止Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ 級數(shù)”， ｆｏｒｂｉｄｄｅｎ， 英文直譯就是“嚴禁的或禁止的”， 查閱了一些參考資料還是不知道該如何翻譯， 所以只好直譯．最后， 特別感謝李升老師、陳寶琴老師對本書的修改意見， 由于我們水平有限， 譯文錯誤及不妥之處再次懇請讀者指正．劉真真
目 錄
譯者的話
前言
引言
第１ 章 復(fù)分析預(yù)備知識 １
１ 復(fù)數(shù)和復(fù)平面 １
１. １ 基本性質(zhì) １
１. ２ 收斂性 ３
１. ３ 復(fù)平面中的集合 ４
２ 定義在復(fù)平面上的函數(shù) ５
２. １ 連續(xù)函數(shù) ５
２. ２ 全純函數(shù) ６
２. ３ 冪級數(shù) １０
３ 沿曲線的積分 １３
４ 練習(xí) １７
第２ 章 柯西定理及其應(yīng)用 ２３
１ Ｇｏｕｒｓａｔ 定理 ２４
２ 局部原函數(shù)的存在和圓盤內(nèi)的柯西定理 ２６
３ 一些積分估值 ２９
４ 柯西積分公式 ３２
５ 應(yīng)用 ３７
５. １ Ｍｏｒｅｒａ 定理 ３７
５. ２ 全純函數(shù)列 ３７
５. ３ 按照積分定義全純函數(shù) ３９
５. ４ Ｓｃｈｗａｒｚ 反射原理 ４０
５. ５ Ｒｕｎｇｅ 近似定理 ４２
６ 練習(xí) ４４
７ 問題 ４７
第３ 章 亞純函數(shù)和對數(shù) ５０
１ 零點和極點 ５１
２ 留數(shù)公式 ５４
２. １ 例子 ５５
３ 奇異性與亞純函數(shù) ５８
４ 輻角原理與應(yīng)用 ６２
５ 同倫和單連通區(qū)域 ６５
６ 復(fù)對數(shù) ６８
７ 傅里葉級數(shù)和調(diào)和函數(shù) ７０
８ 練習(xí) ７２
９ 問題 ７５
第４ 章 傅里葉變換 ７８
１ Ｆ 類 ７９
２ 作用在 Ｆ 類上的傅里葉變換 ８０
３ Ｐａｌｅｙ.Ｗｉｅｎｅｒ 定理 ８５
４ 練習(xí) ９０
５ 問題 ９４
第５ 章 整函數(shù) ９６
１ Ｊｅｎｓｅｎ 公式 ９７
２ 有限階函數(shù) ９９
３ 無窮乘積 １０１
３. １ 一般性 １０１
３. ２ 例子 正弦函數(shù)的乘積公式 １０２
４ Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ 無窮乘積 １０４
５ Ｈａｄａｍａｒｄ 因子分解定理 １０６
６ 練習(xí) １１０
７ 問題 １１３
第６ 章 Ｇａｍｍａ 函數(shù)和 Ｚｅｔａ 函數(shù) １１５
１ Ｇａｍｍａ 函數(shù) １１５
１. １ 解析延拓 １１６
１. ２ Γ 函數(shù)的性質(zhì) １１８
２ Ｚｅｔａ 函數(shù) １２２
２. １ 泛函方程和解析延拓 １２２
３ 練習(xí) １２７
４ 問題 １３１
第７ 章 Ｚｅｔａ 函數(shù)和素數(shù)定理 １３３
１ Ｚｅｔａ 函數(shù)的零點 １３４
１. １ １／ ζ（ｓ）的估計 １３７
２ 函數(shù) ψ 和 ψ１ 的簡化 １３８
２. １ ψ１ 的漸近證明 １４２
３ 練習(xí) １４６
４ 問題 １４９
第８ 章 共形映射 １５１
１ 共形等價和舉例 １５２
１. １ 圓盤和上半平面 １５３
１. ２ 進一步舉例 １５４
１. ３ 帶形區(qū)域中的 Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ 問題 １５６
２ Ｓｃｈｗａｒｚ 引理 圓盤和上半平面的自同構(gòu) １６０
２. １ 圓盤內(nèi)的自同構(gòu) １６１
２. ２ 上半平面的自同構(gòu) １６３
３ 黎曼映射定理 １６４
３. １ 必要條件和定理的陳述 １６４
３. ２ Ｍｏｎｔｅｌ 定理 １６５
３. ３ 黎曼映射定理的證明 １６７
４ 共形映射到多邊形上 １６９
４. １ 一些例子 １６９
４. ２ Ｓｃｈｗａｒｚ.Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ 積分 １７２
４. ３ 邊界表現(xiàn) １７４
４. ４ 映射公式 １７７
４. ５ 返回橢圓積分 １８０
５ 練習(xí) １８１
６ 問題 １８７
第９ 章 橢圓函數(shù)介紹 １９２
１ 橢圓函數(shù) １９３
１. １ Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 定理 １９４
１. ２ Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ 函數(shù) １９６
２ 橢圓函數(shù)的模特征和 Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ 級數(shù) ２００
２. １ Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ 級數(shù) ２０１
２. ２ Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ 級數(shù)和除數(shù)函數(shù) ２０３
３ 練習(xí) ２０５
４ 問題 ２０７
第１０ 章 Ｔｈｅｔａ 函數(shù)的應(yīng)用 ２０９
１ Ｊａｃｏｂｉ Ｔｈｅｔａ 函數(shù)的乘積公式 ２０９
１. １ 進一步的變換法則 ２１４
２ 母函數(shù) ２１６
３ 平方和定理 ２１８
３. １ 二平方定理 ２１９
３. ２ 四平方定理 ２２４
４ 練習(xí) ２２８
５ 問題 ２３２
附錄 Ａ 漸近 ２３６
１ Ｂｅｓｓｅｌ 函數(shù) ２３７
２ Ｌａｐｌａｃｅ 方法 Ｓｔｉｒｌｉｎｇ 公式 ２３９
３ Ａｉｒｙ 函數(shù) ２４３
４ 分割函數(shù) ２４７
５ 問題 ２５３
附錄 Ｂ 單連通和 Ｊｏｒｄａｎ 曲線定理 ２５６
１ 單連通的等價公式 ２５７
２ Ｊｏｒｄａｎ 曲線定理 ２６１
２. １ 柯西定理的一般形式的證明 ２６８
注釋和參考書目 ２７０
參考文獻 ２７３
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