第3章耦合微帶線

　　3.1概述

　　第1章主要對單根均勻微帶線的特性和基本參量進行了討論，并且曾經指出，由于微帶線本身的結構特點以及高次波型的影響，微帶電路各部分之間有可能存在耦合，因而降低了電路的性能。如果我們適當?shù)剡x取微帶線的參量，使高次波型不能存在，因此抑止了那些雜散的、無規(guī)律的耦合，而充分利用有規(guī)律的且其特性可以控制的耦合，則可以利用它來構成各種耦合微帶線元件，其電性能和結構都很適合微帶電路的要求。現(xiàn)在，這種元件已廣泛應用于濾波器和定向耦合器中。因此本章將討論耦合微帶線的基本特性和等效電路，為以后章節(jié)討論有關元件設計時打下一個基礎。

　　圖3.1耦合微帶線

　　圖3.1是耦合微帶線的結構。兩根相同參量的微帶線相互隔開距離s平行排列，即構成了耦合微帶線。這彼此耦合的兩根線也并非參量必須相同，在帶狀線元件中，某些情況下是不同的； 但在微帶線元件中，以相同情況為主，因此在下面均按相同微帶線的耦合來進行分析。

　　上面說過，我們需要的是有規(guī)律、可以控制的耦合，這種耦合就是TEM波的耦合，或類似靜電、靜磁的耦合。更通俗地說，就是通過兩根線之間的互電容和互電感進行耦合。如圖3.2所示的那樣，整個一對耦合線，成了彼此之間具有分布互電容和互電感的分布參數(shù)系統(tǒng)。圖3.3則表示出耦合線的等效電路，其中的分布互電容和分布互電感分別表示兩根線之間的電耦合和磁耦合。

　　圖3.2微帶線之間的電耦合和磁耦合

　　圖3.3耦合微帶線的等效電路

　　耦合微帶線上的電壓和電流的分布遠比單根線的情況復雜，因為單根傳輸線是孤立的分布參數(shù)系統(tǒng)，被激勵后得到單一的電壓波和電流波； 而耦合微帶線除了也是分布參數(shù)外，還具有彼此間的耦合，因此兩根線上的電壓波和電流波有相互影響。例如，兩根耦合線中的一根受到信號源激勵時，其一部分能量將通過分布參數(shù)的耦合逐步轉移到另一根線上，因為這個轉移過程是在整個耦合長度上連續(xù)地進行，還受著各口所接負載的影響，并且被耦合線還將通過線間的耦合，又把部分能量“反轉移”回到*根線。因此耦合線上的電壓電流分布規(guī)律，將是相當復雜的。怎樣從復雜的耦合線問題中，找到較簡單解決的方法，使之便于設計耦合線元件，關于非正弦波通過線性電路的問題，在這方面給我們以啟發(fā)。一個復雜的周期振蕩波形，根據(jù)諧波分析的方法，可分解成一系列的基波和諧波振蕩分量之和； 而線性電路對一個總的信號的響應，等于其各個分量各自響應的總和。線性電路對諸諧波分量的響應是很容易求出的，迭加后就得到對復雜波形的總響應。這種把復雜的事物分解成各個簡單的問題來逐個加以解決的辦法，在

　　解決耦合微帶線問題時，也是行之有效的。這就是目前廣泛應用的所謂“奇偶模參量法”。

　　圖3.4耦合微帶線段

　　耦合微帶線包括相互耦合的兩根微帶線，共有四個引出口，是一個典型的四口網絡，如圖3.4所示�，F(xiàn)在首先要解決的是，當對任意一個口（例如1口）以信號源加以激勵時，通過長度為l的線間耦合，如何求得主線和輔線（即不接信號源的線）的各個引出口的響應？此時，考慮到耦合線結構的上下對稱性，如果在1、4兩口輸入一對相互對稱的信號（例如兩個相同的電壓U），或者是一對相互反對稱的信號（例如兩個幅度相等、相位相反的電壓U與-U），則由于耦合線上電磁場分布的對稱性，對偶模來說，兩根線的電場是偶對稱分布的，對于奇模，則是奇對稱分布�？偠�言之，從電磁場的圖形來說，是完全相同的，這就使上下兩部分可在中心線上對稱分開，只需研究一半即可。于是四口網絡的問題就可作為二口網絡來研究，比較簡單地就能得到結果。我們把上述兩種激勵情況分別稱為偶對稱激勵和奇對稱激勵，或稱奇偶模激勵。當然，奇偶模激勵只是一種特殊情況，在一般情況下往往并不是奇偶模激勵。但是在1、4口上，任意一對輸入電壓U1、U4，總可以分解成一對奇偶模分量，因而使U1等于兩分量之和，U4等于兩分量之差。如以U+表示等幅等相的偶對稱激勵電壓（偶模分量），U-表示等幅反相激勵的電壓分量（奇模分量），則

　　U1=U++U-

　　U4=U+-U-(3.1)

　　因而得到

　　U+=U1+U42

　　U-=U1-U42(3.2)

　　式（3.2）說明了任意一對輸入電壓U1和U4總可分解成一對U+和U-分量。在特殊情況下，當U4=0，相應于只在1口上接信號源激勵時，則U+=（U1+0）/2=U1/2，U-=（U1-0）/2=U1/2，即其奇偶模分量相等。

　　必須指出，奇偶模激勵時，耦合線上的狀況及其參量是不相同的。因此，在分解成奇偶模分量以后，必須用奇偶模各自的參量進行電路分析，*后再把結果疊加而得到耦合線的解，其具體過程將在以后進行討論。

　　還應指出，并非只對耦合微帶線才采取奇偶模的分析方法，對所有具有對稱結構的四口網絡（例如以后要提到的分支線定向耦合器）以及部分三口網絡（例如以后要提到的三線功率分配器），都可應用此方法，從而使分析過程大大簡化。

　　3.2均勻介質耦合微帶線奇偶模激勵下的微分方程

　　上節(jié)曾經提到，應用奇偶模分析時，可以使過程簡化。下面就來看耦合微帶線工作于奇偶模激勵狀態(tài)下的特性以及奇偶模參量和線間耦合參量之間的關系。

　　由于耦合微帶線系工作于部分充填介質的情況，其奇偶模工作狀態(tài)比較復雜。為此，作為一個特例，我們先考慮均勻介質的情況（即全空間是單一介質），就是把介質基片移去后的空氣耦合微帶線，然后再討論加入非均勻介質所引起的影響。

　　在單根微帶線中，可以解傳輸線方程（或稱長線方程）求得其基本特性和求出其基本參量，如特性阻抗、傳播常數(shù)等。

　　在耦合微帶線中．也可用類似方法研究其特性。在這里，首先假定以下條件：

　�。�1) 線上為TEM波，即線間耦合等同于靜電和靜磁耦合。可以用互電容和互電感表示。其他各種高次波型的雜散耦合可以忽略不計；

　　（2） 兩根微帶線的參量相同，結構對稱；

　　（3） 微帶線完全置于空氣中，因此系工作于均勻介質狀態(tài)；

　�。�4） 微帶線的損耗可忽略不計；

　�。�5） 耦合微帶線只工作于偶模（或稱同相型）及奇模（或稱反相型）的工作狀態(tài)。

　　參照圖3.3，給出下列耦合微帶線的參量：

　　Co、Lo為兩根耦合微帶線相隔無限遠時，每根線的分布電容和分布電感，即相當于單根微帶線的分布電容、分布電感。

　　C、L為一根微帶線的旁邊有另一相同微帶線與之耦合、但未被激勵情況下的單根線的分布電容和分布電感。C、L雖然也是單根線的分布電容、分布電感，但由于另一根線的影響（因為另一根線的存在，顯然使電磁場的分布變形），和該線單獨存在時的相應參量Co、Lo自然有所不同。

　　Cm為兩根微帶線之間的耦合分布電容或互分布電容，表示兩線間的電場耦合。

　　Lm為兩根微帶線的耦合分布電感或互分布電感，表示兩線之間的磁場耦合。

　　CmC=KC稱為電容耦合系數(shù)。

　　LmL=KL稱為電感耦合系數(shù)。

　　根據(jù)上面給出的參量，并考慮到耦合線工作于奇偶模情況，可寫出耦合線微分方程如下：

　　�礥1�祕+L�礗1�祎+Lm�礗2�祎=0

　　�礗1�祕+C�礥1�祎-Cm�礥2�祎=0

　　�礥2�祕+L�礗2�祎+Lm�礗1�祎=0

　　�礗2�祕+C�礥2�祎-Cm�礥1�祎=0(3.3)

　　圖3.5耦合線上電壓電流

　　正方向的規(guī)定

　　其中，U1、I1、U2、I2分別為線1和線2上的電壓和電流，如圖3.5所示。z為沿線方向的坐標。在上述微分方程中，Lm及Cm前面的符號相反，這是因為電耦合和磁耦合具有相反的性質。例如對于偶模，如對線1、2上的電壓、電流規(guī)定相同的正方向，則由磁耦合的特點，i2對時間變化率在線1上產生的互感電動勢，和i1對時間變化率在線1上本身產生的自感電動勢同方向，故兩者取相同的符號； 而電壓U2通過耦合電容Cm產生一流入線1的位移電流，U1本身通過線1自電容產生一流出線1的分路電流，二者方向正好相反。因此，在方程組（3.3）的（2)(4）式中，兩位移電流方向彼此相反，上述關系對奇模也是一樣。

　　在考慮到耦合線只工作于偶模和奇模時，線1和線2的電壓、電流有下列關系

　　U1U2=I1I2=±1（3.4)

　　其中，比值1對應于偶模，比值-1對應于奇模。在此種情況下，求方程式（3.3）的特解時，考慮到式（3.4）所表示的兩線間電壓、電流之間的關系，以及KC、KL的定義，則方程(3.3）可簡化為

　　�礥�祕+L（1±KL）�礗�祎=0

　　�礗�祕+C（1�篕C）�礥�祎=0(3.5)

　　和單根傳輸線的微分方程相比，只是方程后項的系數(shù)有了改變。對于偶模，分別以L(1+KL)及C(1-KC）代替原來的L、C； 對于奇模，則分別以L(1-KL）及C(1+KC）代替原來的L、C。

　　在式（3.5）中，用類似于單根傳輸線微分方程的求解過程，可得出對奇偶模的入射波分量和反射波分量以及相應的相位常數(shù)和特性阻抗，它們分別為

　　k±=ωLC（1±KL）（1�篕C）(3.6)

　　在式(3.6)中括弧內取上面符號得到k+，為偶模的相位常數(shù)； 取下面符號得k-，為奇模的相位常數(shù)。于是根據(jù)相速vφ=ωk的關系，可求得奇偶模相速為

　　v±φ=1LC（1±KL）（1�篕C）(3.7)

　　同樣也可求得奇偶模的特性阻抗，通常分別以Z0e（偶模）和Z0o（奇模）表示，它們分別為

　　Z0e=LC·1+KL1-KC

　　Z0o=LC·1-KL1+KC（3.8)

　　從式（3.8）可知，由于奇偶模是不同的激勵，故此時每根線上的行波電壓和行波電流情況不同，因而所得出的奇偶模特性阻抗也不同。在式（3.7）中，由于事先假定耦合線工作于TEM波的情況，故對于空氣介質，奇偶模的相速均應等于光速，亦即

　　v+φ=v-φ=c（3.9)

　　為了滿足式（3.9），在式（3.7）中，只有當KL=KC=K才有可能，亦即空氣耦合微帶線的電容耦合系數(shù)和電感耦合系數(shù)兩者應該相等。

　　此時式（3.7）成為

　　v±φ=c=1LC（1-K2）(3.10)

　　與此相應，奇偶模的特性阻抗為

　　Z0e=LC·1+K1-K=Z′01+K1-K(3.11)

　　Z0o=LC·1-K1+K=Z′01-K1+K(3.12）

　　其中，Z′0=L/C，為考慮到另一根耦合線影響時的單根線特性阻抗，它和孤立單線的特性阻抗Z0=L0/C0是不同的�，F(xiàn)在考慮C0和C、L0和L以及Z0和Z′0之間的關系。

　　由于孤立單線的相速為vφ=1/L0C0=c，應和式（3.10）得出的奇偶模相速相同，因此有

　　L0C0=LC（1-K2）(3.13)

　　而根據(jù)磁場分布的特點，當存在另一根線的耦合時，由于該線一般并非導磁體，其磁場分布圖形受到影響不大，故可認為

　　L0≈L(3.14)

　　而電容的變化較大，因為導體對電場的分布影響比較顯著，因而得

　　C=C01-K2(3.15)

　　故有

　　Z′0=LC=L0C0（1-K2）=Z01-K2(3.16)

　　因此奇偶模特性阻抗Z0o、Z0e又為

　　Z0e=Z′01+K1-K=Z0（1+K）(3.17）

　　Z0o=Z′01-K1+K=Z0（1-K）(3.18）

　　以上分別得出了Z0、Z′0，Z0e、Z0o四個不同的特性阻抗之間的關系。

　　將式（3.17）和式（3.18）聯(lián)立求解，得

　　Z0e·Z0o=Z′20(3.19)

　　及

　　K=Z0e-Z0oZ0e+Z0o（3.20)

　　此兩式表明了Z0e、Z0o、Z′0及耦合系數(shù)K之間的關系，是十分重要的。式(3.19）說明了奇偶模特性阻抗雖然隨耦合情況而變，但其乘積應等于存在另一根線的影響時的單線特性阻抗的平方。式(3.20）則更進一步說明了耦合系數(shù)和奇偶模特性阻抗的關系。由此可知，將耦合線分解成奇偶模，不僅使分析過程簡化，而且的確說明了用奇偶模的特性參量是可以說明耦合特性的。式（3.20)表示當耦合越緊時，Z0e和Z0o之間的差值應越大； 反之則應越小。當耦合十分微弱，因而K→0時，則Z0o=Z0e。再考慮到式（3.19），并注意當K→

　　0時，Z′0=Z0，因而Z0o=Z0e=Zo。也就是說，當兩根微帶線相距較遠，以致耦合相當微弱時，其奇偶模特性阻抗值就相互接近，并趨向于孤立單根微帶線的特性阻抗。

　　根據(jù)第1章中所指出的特性阻抗和分布電容的關系式（1.3)，奇偶模特性阻抗又可表為

　　Z0e=1v+φC0e(3.21)

　　Z0o=1v-φC0o(3.22)

　　其中，v+φ、v-φ分別為偶奇模相速，C0e、C0o則分別為偶、奇模激勵時的單根線的分布電容。

　　3.3非均勻介質的耦合微帶線

　　前節(jié)分析了均勻介質（空氣介質）的耦合微帶線情況。對于實際的微帶線，由于存在介質基片而屬于非均勻介質狀態(tài)。這時微帶線橫截面空間分成空氣及介質兩部分，我們應考慮由此引起的影響。在討論單根微帶線時，曾提出過有效介電常數(shù)εe的概念，它表示了介質對微帶的有效影響，并由εe可直接求得相速。對于耦合微帶線，也可采用此概念，但耦合微帶線和單根微帶線有所區(qū)別。εe說明了電場在介質中和在空氣中分布的相對比值。對于耦合微帶線，其奇偶模電場分布很不相同（這一點在下節(jié)要講到），介質基片的引入對電場的影響也不相同，如仍采用有效介電常數(shù)這一參量，則相應于奇偶模的情況應有不同的值εeo和εee，因此奇偶模的相速就不會相等，即

　　v+φ=cεee(3.23)

　　v-φ=cεeo(3.24)

　　其中，εee、εeo分別為偶奇模的有效介電常數(shù)。

　　因v+φ≠v-φ，故從式（3.6)，已不能推出KL=KC的關系，亦即KL≠KC。此時已不再存在一個統(tǒng)一的耦合系數(shù)K，而應分別考慮電感耦合和電容耦合兩種情況。同時也不能用式(3.20）表示出KL、KC對Z0e、Z0o的關系。但如把奇偶模參量稍加改變，則仍可建立起它們之間的聯(lián)系。假設令C0o(1）和C0e(1）分別為空氣介質時的奇偶模分布電容，C0o(εr）和C0e（εr）分別為引入相對介電常數(shù)為εr的介質時的奇偶模分布電容，則在有介質基片存在時，其奇偶模特性阻抗為

　　Z0e=1v+φC0e（εr）(3.25)

　　Z0o=1v-φC0o（εr）(3.26)

　　此時KL和空氣介質的情況無差別，因為引入電介質時，對磁場分布毫無影響。故求KL時仍可按空氣線考慮。如在式（3.20）中，按式（1.6）考慮到空氣微帶線的奇偶模特性阻抗和奇偶模分布電容C0o(1)、C0e(1）的關系Z0e=1cC0e（1）及Z0o=1cC0o（1）,則KL可表示成

　　KL=LmL=C0o（1）-C0e（1）C0o（1）+C0e（1）(3.27)

　　仿照式（3.27），也可用奇偶模分布電容來表示存在介質基片的耦合微帶線的電容耦合系數(shù)KC，但應該以C0o（εr）和C0e(εr）代替C0o(1)、C0e(1),C0o(εr)、C0o(εr)分別表示介質不均勻時的奇偶模分布電容。

　　KC=CmC=C0o（εr）-C0e（εr）C0o（εr）+C0e（εr）（3.28）

　　式(3.27)和式(3.28）表示了介質不均勻的耦合微帶線的耦合參量和奇偶模參量的關系。由于對一定的介質基片，在不同的耦合線尺寸參量時，可計算出C0o(1)、C0e(1)、C0o（εr）、C0e（εr）（下節(jié)要討論到），故可分別算出KL及KC。由于C0o（εr）=εe0C0o（1），C0e（εr）=εeeC0e（1）而εeo-≠εee，故KL和KC也不相同。圖3.6和圖3.7畫出了εr=9.6時，KL、KC對耦合微帶線尺寸參量的關系曲線。

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