第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)
　　復(fù)變函數(shù)就是自變量與因變量均為復(fù)數(shù)的函數(shù)，在某種意義下可導(dǎo)的復(fù)變函數(shù)——解析函數(shù)，是本課程的重點(diǎn)研究對(duì)象.本章在回顧復(fù)數(shù)的基本概念與復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上，引入復(fù)數(shù)的幾何表示、復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性等概念，為后面研究解析函數(shù)奠定必要的理論基礎(chǔ).
　　1.1復(fù)數(shù)及其四則運(yùn)算
　　1.1.1復(fù)數(shù)的概念
　　我們將形如z=x+iy或z=x+yi的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中x和y為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，并規(guī)定i2=－1.實(shí)數(shù)x和y分別稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部，記為
　　x=Re(z)，y=Im(z).
　　例如，對(duì)復(fù)數(shù)z=2－i，有
　　Re(z)=2，Im(z)=－1.
　　虛部為零的復(fù)數(shù)就是實(shí)數(shù)，即x+i·0=x.因此，全體實(shí)數(shù)可看作全體復(fù)數(shù)的一部分.實(shí)部為零且虛部不為零的復(fù)數(shù)稱為純虛數(shù).
　　設(shè)z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2，y1=y2時(shí)z1=z2，即兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等.因此，一個(gè)復(fù)數(shù)等于0當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于0.
　　注意一般情況下，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小.
　　我們把實(shí)部相同而虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).z的共軛復(fù)數(shù)記作z-.設(shè)z=x+iy，則
　　z-=x－iy.
　　1.1.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
　　設(shè)z1=x1+iy1，z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù)，其四則運(yùn)算規(guī)定如下：
　　z1±z2=(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)；
　　z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2－y1y2)+i(x1y2+x2y1)；
　　z1z2=x1+iy1x2+iy2=(x1+iy1)(x2－iy2)(x2+iy2)(x2－iy2)
　　=x1x2+y1y2x22+y22+ix2y1－x1y2x22+y22(x22+y22≠0).
　　由上述規(guī)定，復(fù)數(shù)的加(減)法，可按實(shí)部與實(shí)部相加(減)，虛部與虛部相加(減)； 復(fù)數(shù)的乘法，可按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行，然后將結(jié)果中的i2換成－1； 復(fù)數(shù)的除法，可把除式先寫成分式的形式，然后分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再進(jìn)行化簡(jiǎn).顯然，與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算一樣，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算也滿足下面性質(zhì)：
　　(1) 交換律z1+z2=z2+z1，z1z2=z2z1；
　　(2) 結(jié)合律(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)，(z1z2)z3=z1(z2z3)；
　　(3) 分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
　　容易驗(yàn)證，共軛復(fù)數(shù)具有如下性質(zhì):
　　(1) z--=z；
　　(2) z1±z2=z-1±z-2，z1z2=z-1z-2，z1z2=z-1z-2；
　　(3) zz-=［Re(z)］2+［Im(z)］2=x2+y2(這里z=x+iy)；
　　(4) z+z-=2Re(z)，z－z-=2iIm(z).
　　例1設(shè)z1=3－2i，z2=2+3i，求z1z2.
　　解z1z2=3－2i2+3i=(3－2i)(2－3i)(2+3i)(2－3i)=(6－6)+(－9－4)i22+32=－i.
　　1.2復(fù)數(shù)的幾何表示
　　1.2.1復(fù)數(shù)的點(diǎn)表示
　　因?yàn)閺?fù)數(shù)z=x+yi可以由有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)唯一確定，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以全體復(fù)數(shù)與坐標(biāo)
　　圖1.1
　　平面上的全體點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而復(fù)數(shù)z=x+yi可以用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)P(x,y)表示，反之亦然(圖1.1).
　　由于x軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著全體實(shí)數(shù)，故x軸稱為實(shí)軸； y軸上除去原點(diǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著全體純虛數(shù)，故y軸稱為虛軸； 兩軸所在的平面稱為復(fù)平面或z平面.
　　引進(jìn)復(fù)平面之后，我們?cè)凇皵?shù)”和“點(diǎn)”之間建立了聯(lián)系.為了方便起見，今后我們不再區(qū)分“數(shù)”和“點(diǎn)”、“數(shù)集”和“點(diǎn)集”，說(shuō)到“點(diǎn)”可以指它所代表的“數(shù)”，說(shuō)到“數(shù)”也可以指它所代表的“點(diǎn)”.例如，把復(fù)數(shù)1－i稱為點(diǎn)1－i，把點(diǎn)2+3i稱為復(fù)數(shù)2+3i.
　　1.2.2復(fù)數(shù)的向量表示
　　由于復(fù)數(shù)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，而坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)，因此，復(fù)數(shù)z=x+yi也可用向量OP表示(圖1.2).
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