《高等數(shù)學(xué)疑難問題選講》是“高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心”立項(xiàng)資助的教學(xué)研究項(xiàng)目成果。《高等數(shù)學(xué)疑難問題選講》編寫的主要目的是為了幫助從事“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)的青年教師更深刻地領(lǐng)會(huì)教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)水平和教學(xué)能力�！陡叩葦�(shù)學(xué)疑難問題選講》分章按問題編排，各問題之間相對(duì)獨(dú)立，便于讀者查閱，要求偏高的問題冠以-號(hào)。但在講解各問題時(shí)，并不受該問題在教材中所屬章節(jié)內(nèi)容先后的限制。 《高等數(shù)學(xué)疑難問題選講》可供青年教師作為教學(xué)參考書，對(duì)于有志于更好掌握“高等數(shù)學(xué)”的本科生也頗有參考價(jià)值。
《高等數(shù)學(xué)疑難問題選講》可供青年教師作為教學(xué)參考書，對(duì)于有志于更好掌握“高等數(shù)學(xué)”的本科生也頗有參考價(jià)值。
第一章微積分的基本思想方法及其應(yīng)用
問題1.1微積分的基本思想方法
問題1.2定積分與微分的關(guān)系
問題1.3微元法——微積分基本思想方法在積分學(xué)中的應(yīng)用
問題1.4微元法在建立微分方程中的應(yīng)用
問題1.5微積分基本思想方法在多元函數(shù)中的表現(xiàn)
（1）區(qū)域函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、微分與積分
（2）積分與微分的關(guān)系
第二章 微積分的理論基礎(chǔ)——函數(shù)、極限與連續(xù)
問題2.1函數(shù)概念中的兩個(gè)問題
（1）為什么說對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)定義中的本質(zhì)要素
（2）函數(shù)概念的推廣和發(fā)展
問題2.2為什么說微積分的研究對(duì)象主要是非線性函數(shù)
（1）均勻變化是線性函數(shù)的本質(zhì)屬性
（2）非均勻變化只能用非線性函數(shù)來描述
問題2.3極限概念的精確化歷程
（1）樸素極限思想的萌芽
（2）極限概念是適應(yīng)微積分的創(chuàng)立和發(fā)展的需要逐步形成的
（3）極限概念是隨著分析的嚴(yán)格化而嚴(yán)格化的
問題2.4怎樣理解極限ε—N與ε—δ定義
（1）Cauchy極限定義的科學(xué)內(nèi)涵與缺陷
（2）Weierstrass用ε—N（或ε—δ）對(duì)“兩個(gè)無限”和接近程度“要多小就多小”進(jìn)行了嚴(yán)格的刻畫
（3）怎樣用ε—N語言表述lim an≠A
（4）極限的ε—N與ε—δ定義體現(xiàn)了通過有限認(rèn)識(shí)無限的科學(xué)思維方法
……
第三章 一元函數(shù)微分學(xué)
第四章 一元函數(shù)積分學(xué)
第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何
第六章 多元函數(shù)微分學(xué)
第七章 多元函數(shù)積分學(xué)
第八章無窮級(jí)數(shù)
第九章微分方程
參考文獻(xiàn)
（2）極限概念是適應(yīng)微積分的創(chuàng)立和發(fā)展的需要逐步形成的
1°微積分的創(chuàng)立和發(fā)展
17世紀(jì)上半葉，自然科學(xué)領(lǐng)域發(fā)生了一些重大事件。1608年，Galieo Galilei（伽利略，1564—1642）用天文望遠(yuǎn)鏡遙望星空，得到了許多令世人驚奇不已的發(fā)現(xiàn)；1619年，J.Kepler（開普勒，l571—1630）公布了他通過觀測歸納出的行星運(yùn)動(dòng)的三大定律；1638年，Galieo Galilei的《關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話》一書出版，建立了自由落體定律、動(dòng)量定律等，為動(dòng)力學(xué)奠定了基礎(chǔ)。所有這一切，標(biāo)志著自文藝復(fù)興以來蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)邁入了綜合與突破的階段，需要新的數(shù)學(xué)工具來解決所面臨的困難。微積分就是適應(yīng)這種需要，在17世紀(jì)下半葉，由Newton（牛頓，1642—1727）與Leibniz（萊布尼茨，1646—1716）在前人工作的基礎(chǔ)上，分別以運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何學(xué)為背景各自獨(dú)立創(chuàng)立的，被F.Engels（恩格斯，1820—1895）譽(yù)為“人類精神的最高勝利”。
微積分的誕生和發(fā)展，不但迎來了數(shù)學(xué)上的一個(gè)空前繁榮的時(shí)期，大大拓展了數(shù)學(xué)的研究范圍，發(fā)展了一些諸如微分方程、無窮級(jí)數(shù)理論新工具，出現(xiàn)了變分法、微分幾何等新分支，而且被應(yīng)用于天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域，取得了豐碩的成果，引發(fā)了世界范圍內(nèi)的一場科學(xué)革命。
2°微積分缺乏穩(wěn)固的基礎(chǔ)，導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
然而，Newton和Leibniz建立的微積分是不嚴(yán)格的，他們自己也曾意識(shí)到這一點(diǎn)。由于基礎(chǔ)的不穩(wěn)固，在微積分的發(fā)展和應(yīng)用過程中出現(xiàn)了越來越多的錯(cuò)誤和悖論。
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