目錄
《大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書(shū)》序
第二版前言
第一版前言
第1章 廣義函數(shù)與Sobolev空間 1
1.1 廣義函數(shù)的基本概念、基本空間 1
1.1.1 引言 1
1.1.2 基本空間C(Rn)，Cc(Rn) 4
1.1.3 函數(shù)的正則化、平均算子 5
1.1.4 基本空間 S(Rn) 7
習(xí)題 9
1.2 廣義函數(shù)及其運(yùn)算 10
1.2.1 D1(Rn)，S1(Rn)，E1(Rn)廣義函數(shù) 10
1.2.2 廣義函數(shù)的支集 13
1.2.3 廣義函數(shù)的極限 16
1.2.4 廣義函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 18
1.2.5 廣義函數(shù)的乘子 22
1.2.6 廣義函數(shù)的自變量變換 23
1.2.7 廣義函數(shù)的卷積 23
習(xí)題 26
1.3 Fourier變換 28
1.3.1 S(Rn)空間上的Fourier變換 28
1.3.2 S1(Rn)空間上的Fourier變換 32
1.3.3 緊支集廣義函數(shù)的Fourier變換 36
1.3.4 擬微分算子 39
習(xí)題 41
1.4 Sobolev空間 42
1.4.1 非負(fù)整指數(shù)Sobolev空間Hm，p 42
1.4.2 負(fù)整指數(shù)Sobolev 空間 48
1.4.3 實(shí)指數(shù)Sobolev空間 50
1.4.4 Hm(Ω)函數(shù)的延拓 52？
1.4.5 微分流形上的Sobolev空間 55
習(xí)題 56
1.5 嵌入定理、跡定理 57
1.5.1 嵌入定理 57
1.5.2 緊嵌入定理 63
1.5.3 跡定理 66
習(xí)題 70
第2章 偏微分方程的一般理論 72
2.1 一般概念、特征與分類(lèi) 72
2.1.1 偏微分方程的一般概念 72
2.1.2 特征 73
2.1.3 偏微分方程的分類(lèi) 75
習(xí)題 76
2.2 存在性定理 77
2.2.1 Cauchy-Kowalevskaya定理 77
2.2.2 Cauchy-Kowalevskaya定理的證明 80
2.2.3 初始資料給在一般曲面上的情形 84
2.2.4 Lewy反例 86
習(xí)題 87
2.3 唯一性與穩(wěn)定性 88
2.3.1 Holmgren定理 88
2.3.2 Holmgren定理的應(yīng)用 92
2.3.3 穩(wěn)定性 93
習(xí)題 94
2.4 基本解 95
2.4.1 基本解的概念 95
2.4.2 偏微分方程的基本解 97
2.4.3 Cauchy問(wèn)題的基本解 101
2.4.4 基本解在解的正則性研究中的應(yīng)用 104
習(xí)題 106
第3章 橢圓型方程 107
3.1 橢圓型方程邊值問(wèn)題的廣義解 107
3.1.1 Dirichlet問(wèn)題的廣義解 107
3.1.2 第二、第三邊值問(wèn)題的廣義解 109
習(xí)題 111
3.2 橢圓型方程邊值問(wèn)題的可解性 111
3.2.1 先驗(yàn)估計(jì) 111
3.2.2 算子-L+λ的可逆性 114
3.2.3 兩擇性定理 115
3.2.4 特征值問(wèn)題 119
3.2.5 Laplace算子的特征值與特征函數(shù) 121
習(xí)題 124
3.3 解的正則性 124
3.3.1 差商算子及其性質(zhì) 124
3.3.2 半空間上橢圓型方程的Dirichlet問(wèn)題 127
3.3.3 一般區(qū)域的情形 131
3.3.4 內(nèi)正則性定理 133
習(xí)題 135
3.4 高階橢圓型方程 135
3.4.1 高階橢圓型方程的定義 135
3.4.2 先驗(yàn)估計(jì) 137
3.4.3 兩擇性定理與正則性定理 141
習(xí)題 142
第4章 雙曲型方程 143
4.1 能量不等式﹑解的唯一性和穩(wěn)定性 143
4.1.1 二階雙曲型方程的定解問(wèn)題 143
4.1.2 初邊值問(wèn)題的能量不等式 144
4.1.3 Cauchy問(wèn)題的能量不等式 147
4.1.4 擾動(dòng)的有限傳播速度 150
習(xí)題 150
4.2 Cauchy問(wèn)題解的存在性 150
4.2.1 高階能量不等式 151
4.2.2 解析逼近法 152
習(xí)題 155
4.3 初邊值問(wèn)題解的存在性 155
4.3.1 取值于Banach空間的函數(shù) 155
4.3.2 Galerkin方法 157
4.3.3 附注 164
習(xí)題 165
4.4 對(duì)稱雙曲組 165
4.4.1 對(duì)稱雙曲組及其Cauchy問(wèn)題 165
4.4.2 對(duì)稱雙曲組Cauchy問(wèn)題的能量不等式 167
4.4.3 初邊值問(wèn)題的能量不等式 170
習(xí)題 171
4.5 正對(duì)稱方程組 172
4.5.1 正對(duì)稱算子 172
4.5.2 強(qiáng)解與弱解 175
4.5.3 強(qiáng)解的唯一性與弱解的存在性 176
4.5.4 強(qiáng)解與弱解的一致性 179
習(xí)題 185
第5章 拋物型方程與算子半群方法 187
5.1 拋物型方程及其能量不等式 187
5.1.1 拋物型方程的定解問(wèn)題 187
5.1.2 能量不等式 188
5.1.3 用Galerkin方法解初邊值問(wèn)題 189
習(xí)題 192
5.2 算子半群與無(wú)窮小生成元 192
5.2.1 算子半群方法的基本思想 192
5.2.2 無(wú)窮小生成元 194
5.2.3 線性壓縮算子半群的存在性與唯一性 196
5.2.4 一般線性算子半群的情形 200
習(xí)題 202
5.3 算子半群方法的應(yīng)用 202
5.3.1 增生算子 202
5.3.2 對(duì)拋物型方程初邊值問(wèn)題的應(yīng)用 203
5.3.3 對(duì)雙曲型方程初邊值問(wèn)題的應(yīng)用 207
習(xí)題 211
參考文獻(xiàn) 212
索引 214
《大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書(shū)》已出版書(shū)目 217