第一次接觸圓周率 ，應(yīng)該是在我 9 歲或者 10 歲的時(shí)候。那一天，我應(yīng)邀參觀父親朋友的一家工廠。廠房中堆滿了各種工具和機(jī)器，彌漫著濃重的汽油味。我對(duì)這些冷冰冰的家伙毫無(wú)興致，感到百無(wú)聊賴。主人似乎敏銳地察覺(jué)到了這一點(diǎn)，便把我領(lǐng)到一臺(tái)有幾個(gè)調(diào)速輪的大機(jī)器旁邊，然后告訴我，不管輪子多大多小，它們的周長(zhǎng)與直徑之間的比值總是固定的約為 371。我一下對(duì)這個(gè)詭異的數(shù)充滿了好奇，再聽(tīng)他說(shuō)任何人都無(wú)法精確地得到這個(gè)比值而只能近似求解時(shí)，更是覺(jué)得不可思議。這個(gè)數(shù)非常重要，因此人們專(zhuān)門(mén)用一個(gè)符號(hào)希臘字母 來(lái)表示它。我不禁問(wèn)自己，為什么像圓這么簡(jiǎn)單的形狀會(huì)跟這么怪異的數(shù)有關(guān)聯(lián)呢？那時(shí)的我當(dāng)然不知道這個(gè)怪異的數(shù)已經(jīng)困擾了科學(xué)家們近 4000 年，與它相關(guān)的某些問(wèn)題甚至到現(xiàn)在都未曾得到解決。 幾年后，我升入高二學(xué)習(xí)代數(shù)，另一個(gè)奇怪的數(shù)勾起了我的興趣。那時(shí)，對(duì)數(shù)是代數(shù)課程中至關(guān)重要的一部分。在那個(gè)還不知計(jì)算器為何物的年代，對(duì)于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，對(duì)數(shù)表是不可或缺的。要完成幾百道練習(xí)題，還無(wú)時(shí)無(wú)刻不提醒自己別查漏一行或查錯(cuò)一列，真是無(wú)聊之至。我們使用的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)，它們以 10 為底，說(shuō)它們常用倒也非常自然。不過(guò)書(shū)中竟然還附了一頁(yè)自然對(duì)數(shù)表。我問(wèn)老師，還有什么數(shù)比 10 作為對(duì)數(shù)的底更自然呢？老師告訴我，還有一個(gè)用字母 e 表示的數(shù)，其值約為 2.718 28，它是高等數(shù)學(xué)的基石。為何是這個(gè)奇怪的數(shù)呢？在高三學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候，我才找到了答案。這也就意味著圓周率 還有一位同門(mén)兄弟，而且它們的值非常接近，所以人們對(duì)它們之間的比較在所難免。后來(lái)，又經(jīng)過(guò)了幾年的大學(xué)學(xué)習(xí)，我才搞明白這兩兄弟之間的關(guān)系確實(shí)很密切，而且它們的關(guān)系因?yàn)榱硪粋�(gè)符號(hào)i 的存在而顯得更加撲朔迷離。這里的 i 就是著名的虛數(shù)單位，即 -1 的平方根。至此，這部數(shù)學(xué)劇的所有主角已悉數(shù)登場(chǎng)。圓周率的故事早已廣為流傳，一來(lái)是因?yàn)樗�的歷史可以追溯到遠(yuǎn)古時(shí)代，二來(lái)則是由于人們無(wú)需太高深的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以很好地理解它�；蛟S至今還沒(méi)有任何一本書(shū)比彼得·貝克曼的《 的歷史》（A History of ）更通俗易懂、恰到好處。常數(shù) e 的知名度則要遜色很多，這不僅是因?yàn)樗�的出現(xiàn)更晚，更因?yàn)樗�與微積分緊密相關(guān)（一般認(rèn)為微積分是通往高等數(shù)學(xué)的大門(mén)）。據(jù)我所知，目前還沒(méi)有哪本有關(guān) e 的歷史的書(shū)能夠與貝克曼的書(shū)相媲美，希望本書(shū)能夠填補(bǔ)這一缺憾。我希望略具數(shù)學(xué)知識(shí)的讀者都能讀懂本書(shū)所講述的 e 的故事。在本書(shū)中，我會(huì)盡量減少純數(shù)學(xué)內(nèi)容，并將一些證明和推導(dǎo)過(guò)程放在附錄中。此外，我還會(huì)講述一些有趣的歷史事件，并簡(jiǎn)要介紹許多在 e 的發(fā)展史上發(fā)揮過(guò)重要作用的人物，其中有些人在教科書(shū)中很少提及。最重要的是，我還想與大家分享從物理、生物到藝術(shù)、音樂(lè)等多個(gè)領(lǐng)域中與指數(shù)函數(shù) y = ex 有關(guān)的各種有意思的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)的范疇。本書(shū)的風(fēng)格與傳統(tǒng)微積分教科書(shū)多有不同。比如，為了證明函數(shù) y = ex的導(dǎo)數(shù)與其自身相等，大多數(shù)教科書(shū)都是首先通過(guò)復(fù)雜的推導(dǎo)得到公式d(ln x) / dx = 1 / x，然后利用反函數(shù)的求導(dǎo)法則得到想要的結(jié)果。我一直認(rèn)為 推導(dǎo)過(guò)程沒(méi)必要這么復(fù)雜，因?yàn)榭梢灾苯油茖?dǎo)出 dex / dx = ex（而且速度也要快得多）。具體做法是，首先證明指數(shù)函數(shù) y = bx 的導(dǎo)數(shù)與 bx 成正比，然后尋找合適的 b 值使得比例常數(shù)為 1（推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附錄 4）。對(duì)于高等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的表達(dá)式 cos x i sin x，我將其簡(jiǎn)寫(xiě)為 cis x（讀作ciss x），希望這種簡(jiǎn)潔的寫(xiě)法將來(lái)能被人們廣泛采用。關(guān)于圓函數(shù)和雙曲函數(shù)的類(lèi)比關(guān)系研究，最漂亮的一個(gè)結(jié)果是 1750 年左右文森佐·黎卡提發(fā)現(xiàn)的：從幾何上將這兩個(gè)函數(shù)中的獨(dú)立變量解釋為面積，可以使這兩個(gè)函數(shù)在形式上的相關(guān)性更為直觀。教科書(shū)中很少提及這一點(diǎn)，本書(shū)將在第 12 章和附錄 7 中討論。