目錄
第1章 數(shù)列極限
1.1數(shù)列極限的定義與基本性質(zhì) 1
1.1.1數(shù)列極限的定義 1
1.1.2數(shù)列極限定義的應(yīng)用 4
1.1.3收斂數(shù)列的性質(zhì) 10
1.1.4數(shù)列極限的運(yùn)算法則 14
1.1.5無窮小量及其運(yùn)算性質(zhì) 21
1.1.6趨向于無窮大的數(shù)列 21
1.2單調(diào)有界定理與應(yīng)用 24
1.2.1單調(diào)有界定理 24
1.2.2兩個(gè)典型單調(diào)數(shù)列 26
1.2.3單調(diào)數(shù)列綜合例題 29
1.3閉區(qū)間套定理與應(yīng)用 33
1.3.1 閉區(qū)間套定理 33
1.3.2閉區(qū)間套定理的應(yīng)用 34
1.4柯西收斂準(zhǔn)則及其應(yīng)用 36
1.4.1列緊性定理 36
1.4.2柯西收斂準(zhǔn)則 37
1.4.3柯西收斂準(zhǔn)則的應(yīng)用 39
1.5確界存在定理與應(yīng)用 42
1.5.1確界存在定理 42
1.5.2 確界存在走理的應(yīng)用44
1.6 有限覆蓋定理 46
1.7 實(shí)數(shù)系六個(gè)定理的等價(jià)性討論 47
1.7.1 實(shí)數(shù)的連續(xù)與完備性討論 47
1.7.2 無理數(shù)集合、有理數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合的進(jìn)一步討論 51
1.8 數(shù)列的上下極限與應(yīng)用 52
1 9 施篤茲定理與應(yīng)用 56
1.9.1 施篤茲定理 56
1.9.2 施篤茲定理的應(yīng)用 58
1 10 綜合例題選講 59
1.11 提高課 64
1 12 探索類問題72
第2章函數(shù)植限與連續(xù) 77
2.1 集合 77
2.1.1 集合的定義 77
2.1.2 集合的基本術(shù)語 78
2.1.3 集合的勢的定義與基本性質(zhì) 83
2.2 初等函數(shù)的討論 87
2.2.1 初等函數(shù)回顧 87
2.2.2 函數(shù)曲線的數(shù)學(xué)描述 89
2.2.3 函數(shù)曲線與數(shù)學(xué)建模 90
2.2.4 函數(shù)基本性質(zhì)討論 91
2.3 函數(shù)極限的定義與基本理論 44
2.3.1 函數(shù)極限的定義 94
2.3.2 函數(shù)極限的基本性質(zhì) 98
2.3.3 函數(shù)極限的四則運(yùn)算與夾逼定理 101
2.3.4 復(fù)合函數(shù)的極限 103
2.3.5 典型例題 104
2.3.6 海理原理 107
2.3.7 柯西收斂定理 109
2 4連續(xù)函數(shù) 112
2.4.1 連續(xù)函數(shù)與間斷點(diǎn)分類 112
2.4.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)類型分析 115
2.4.3 連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用:函數(shù)極限求解與函數(shù)方程 117
2.5 函數(shù)極限的其他形式與結(jié)論 120
2.5.1 單側(cè)極限 120
2.5.2 自變量趨向于無窮太時(shí)函數(shù)的極限 122
2.5.3 典型例題 127
2.6 一致連續(xù)函數(shù) 133
2.6.1 函數(shù)一致連續(xù)的定義 133
2.6.2 函數(shù)一致連續(xù)典型例題 137
2.7 收斂速度討論:無窮小與無窮大階的比較 140
2.7.1 無窮小階的比較 140
2.7.2 無窮小階的運(yùn)算性質(zhì) 143
2.7.3 無窮大階的比較 145
2.8 有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì) 148
2.8.1 有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 148
2.8.2 連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步討論 153
2.9 綜合例題選講 156
2.10 提高課 162
2.10.1 有限覆蓋定理的進(jìn)一步認(rèn)識 162
2.10.2 連續(xù)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)定理以及應(yīng)用 164
2.11 探索類問題 167
第3章導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用 173
3.1 導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算 173
3.1.1 導(dǎo)數(shù)的定義 173
3.1.2 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 176
3.1.3 四則運(yùn)算應(yīng)用舉例 177
3.1.4 復(fù)合函數(shù)逐層外推求導(dǎo)定理 178
3.1.5 復(fù)合函數(shù)逐層外推求導(dǎo)計(jì)算例題 179
3.1.6 反函數(shù)求導(dǎo)法則與應(yīng)用 181
3.2 高階導(dǎo)數(shù) 182
3.2.1 高階導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算 182
3.2.2 萊布尼茨求導(dǎo)公式與應(yīng)用 184
3.2.3 高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 184
3.3 隱函數(shù)和參數(shù)方程的求導(dǎo) 186
3.4微分中值定理 188
3.4.1 羅爾定理證明 188
3.4.2 羅爾定理應(yīng)用 189
3.4.3 拉格朗日中值定理證明 191
3.4.4 拉格朗日中值定理應(yīng)用 193
3.4.5 柯西中值定理 194
3.4.6 柯西中值定理應(yīng)用 195
3.5 函數(shù)的單調(diào)性197
3.5.1 函數(shù)單調(diào)性判定定理 197
3.5.2 函數(shù)單調(diào)區(qū)間分析應(yīng)用例題 198
3.6 極值問題 200
3.6.1 極值問題判定定理 200
3.6.2 極值問題求解 201
3.6.3 函數(shù)的最大最小值 203
3.7 凹凸函數(shù) 206
3.7.1 函數(shù)凹凸的定義及詹森定理 a 206
3.7.2 凹凸函數(shù)的判定定理 207
3.7.3 凹凸函數(shù)應(yīng)用 210
3.8 洛必達(dá)法則 213
3.8.1 洛必達(dá)法則 213
3.8.2 洛必達(dá)法則應(yīng)用 215
3.9 函數(shù)作圖 217
3.10 綜合例題選講 219
3.11 提高課 223
3.11.1 數(shù)學(xué)建模:彩虹現(xiàn)象 223
3.11 2 數(shù)學(xué)建模罐子設(shè)計(jì) 225
3.11.3 方程求根 227
3.11.4 兒類特殊函數(shù)性質(zhì)的討論 231
3.12探索類問題 236
第4章泰勒公式 239
4.1 微分的定義與運(yùn)算性質(zhì) 239
4.1.1 微分的定義與計(jì)算 239
4.1.2 高階微分的定義與計(jì)算 242
4.1.3 微分的應(yīng)用:近似計(jì)算243
4.2 帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式 243
4.2.1 帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式 243
4.2.2 常用函數(shù)的泰勒展開(佩亞諾型余項(xiàng)) 245
4.2.3 泰勒公式局部逼近 247
4.2.4 函數(shù)的泰勒漸近展開 248
4.3 帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式 250
4.3.1 帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式 250
4.3.2 泰勒公式的應(yīng)用 a 252
4.3.3 泰勒公式典型例題 255
4.4綜合例題選講 258
4.5 提高課 44261
4.5.1 泰勒公式在科學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用 261
4.5.2 拉格朗日插值逼近 264
4.6 探索類問題 266
第5章不定積分 269
5.1 不定積分的定義與基本性質(zhì) 269
5.2 第一類換元公式與應(yīng)用 271
5.3 分部積分公式與應(yīng)用 276
5.4第二類換元公式與應(yīng)用 278
5.5 幾類特殊函數(shù)的不定積分 282
5.5.1 有理函數(shù)的不定積分 283
5.5.2 三角函數(shù)有理式的不定積分 286
5.5.3 無理根式的不定積分 287
5.6 綜合例題選講289
5.7 探索類問題 295
第6章定積分 297
6.1 定積分的定義與基本運(yùn)算性質(zhì) 297
6.2 畫數(shù)可積性討論 303
6.2.1 函數(shù)可積定理 303
6.2.2 可積函數(shù)類 310
6.3 微積分基本定理 318
6.3.1 牛頓-萊布尼茨公式 318
6.3.2 徽積分基本定理 320
6.4定積分的計(jì)算 325
6.4.1 定積分的分部積分公式 325
6.4.2 定積分的換元公式 329
6.5 定積分中值定理 44 335
6.5.1 定積分第一中值定理 335
6.5.2 定積分第二中值定理 337
6.5.3 定積分第三中值定理 340
6.6 勒貝格定理 a 341
6.6.1 勒貝格定理 341
6.6.2 勒貝格定理的應(yīng)用 343
6.7 綜合例題選講 345
6.8 提高課 352
6.8.1 積分算子的應(yīng)用:函數(shù)的磨光 352
6.8.2 定積分的數(shù)值計(jì)算 356
6.8.3 勒貝格積分初步 363
6.9 探索類問題 367
第7章定積分的應(yīng)用 370
7.1 定積分解決實(shí)際問題的一般方法 370
7.2 平面圖形面積的計(jì)算 371
7.2.1 直角坐標(biāo)系下圖形面積計(jì)算 371
7.2.2 參數(shù)方程表示的曲線圄成平面圖形的面積 373
7.2.3 極坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算 375
7.3 旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算 377
7.4旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算方法 383
7.5 曲線的弧長 388
7.6 平面曲線的曲率 391
7.7 定積分的物理應(yīng)用 393
7.7.1 變力做功與壓力壓強(qiáng) 393
7.7.2 液體的壓力與壓強(qiáng) 394
7.7.3 引力問題 395
7.7.4 力矩和質(zhì)心 397
7.8 探索類問題 399
第8章廣義積分 401
8.1 無窮積分的基本概念與性質(zhì) 401
8.1.1 無窮積分的定義 401
8.1.2 無窮積分的計(jì)算 405
8.2 無窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法 408
8.2.1 無窮區(qū)間上非負(fù)函數(shù)積分的斂散性判剔 408
8.2.2 無窮積分的狄利克雷和阿貝爾判定定理 412
8.3 瑕積分 419
8.4綜合例題選講 428
8.5 探索類問題 431
第9章數(shù)項(xiàng)級數(shù) 433
9.1 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本概念與性質(zhì) 433
9.1.1 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 433
9.1.2 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì) 434
9.2 正項(xiàng)級數(shù) 439
9.2.1 正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法 439
9.2.2 正項(xiàng)級數(shù)的柯西積分判別法 443
9.2.3 正項(xiàng)級數(shù)的柯西判別法 446
9.2.4 正項(xiàng)級數(shù)的達(dá)朗貝爾判別法 448
9.2.5 正項(xiàng)級數(shù)的拉貝判別法 451
9.3 一般級數(shù)收斂問題討論 455
9.3.1 交錯(cuò)級數(shù) 455
9.3.2 狄利克雷判別法和阿貝爾判別法 456
9.3.3 絕對收斂和條件收斂級數(shù) 460
9.3.4 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì) 464
9.3.5 廣義積分與數(shù)項(xiàng)級數(shù) 467
9.4綜合例題選講 469
9.5 提高課 473
9.5.1 級數(shù)的乘法 473
9.5.2 無窮乘職 476
9.6 探索類問題 480
參考文獻(xiàn) 482