引 言

我們很幸運(yùn)生活在一個繼續(xù)發(fā)現(xiàn)的時代。就像發(fā)現(xiàn)

美洲新大陸一樣你只能發(fā)現(xiàn)一次。我們是生活

在一個發(fā)現(xiàn)自然基本定律的時代。

美國物理學(xué)家 理查·費(fèi)曼 1964年

本書摘選了數(shù)學(xué)史上最重要的31部典范之作，它們匯成了對那些推進(jìn)人類認(rèn)識世界并為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)開山鋪路的數(shù)學(xué)家們的贊歌。

許多世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家們的努力幫助人類達(dá)到對自然的偉大洞察，諸如認(rèn)識到地球是圓的、使蘋果落地和使重物運(yùn)動的是同一種力、空間是有限的和非永恒的、時空相互聯(lián)系并因物質(zhì)和能量而彎曲，以及未來只能或然地確定。我們認(rèn)識世界的方式的變革總是與數(shù)學(xué)思想的變革攜手并進(jìn)。沒有笛卡兒的解析幾何和他本人發(fā)明的微積分，牛頓決不可能建立其力學(xué)定律；沒有福里葉的方法和由高斯、柯西引領(lǐng)的微積分和復(fù)變函數(shù)論研究，很難想象電動力學(xué)和量子理論的發(fā)展正是勒貝格的測度理論使馮諾依曼得以奠定量子力學(xué)的嚴(yán)格基礎(chǔ)；同樣，不借助黎曼的幾何思想，愛因斯坦也不可能完成他的廣義相對論；而事實(shí)上，如果沒有拉普拉斯的概率統(tǒng)計概念，整個近代科學(xué)就不可能如此影響巨大（如果確有影響的話）。

迄今還沒有哪一種智力探索比數(shù)學(xué)研究對物理科學(xué)更為重要。然而數(shù)學(xué)不僅僅是科學(xué)的工具和語言。數(shù)學(xué)還有它自身的目的，長期以來，數(shù)學(xué)一直影響著我們的世界觀。魏斯特拉斯提出了嶄新的函數(shù)連續(xù)性概念；康托的工作革新了人們對無限的認(rèn)識；布爾的《思維規(guī)律》揭示了邏輯作為一種程序系統(tǒng)服從與代數(shù)相同的規(guī)律，從而闡明了思維的本質(zhì)，最終能夠在一定程度上實(shí)現(xiàn)思維的機(jī)械化，即現(xiàn)代數(shù)字計算機(jī)的誕生。早在有可能在計算機(jī)上進(jìn)行熟練的計算之前很久，圖靈就闡明了數(shù)值計算的威力和局限哥德爾證明了一條使許多哲學(xué)家和所有其他相信絕對真理的人大感困惑的定理：任何一個足夠復(fù)雜的邏輯系統(tǒng)（例如算術(shù)）一定存在一個既不能證明也不能證偽的命題。更糟糕的是，他同時還證明了：一個系統(tǒng)在邏輯上是否相容的問題不可能由該系統(tǒng)本身獲得證明。

這部引人入勝的文集展示了所有這類突破性的發(fā)展、25個世紀(jì)來數(shù)學(xué)的核心思想，通過原始文獻(xiàn)來追蹤古往今來數(shù)學(xué)思想的進(jìn)化與變革。

本書選載的第一篇文獻(xiàn)是公元前300年左右歐幾里得的著作，不過早在公元前3500年以前埃及人和巴比倫人就已經(jīng)發(fā)展了令人印象深刻的數(shù)學(xué)計算能力。埃及人運(yùn)用這種技能建造了偉大的金字塔并實(shí)現(xiàn)了其它令人驚異的目標(biāo)，然而埃及人的計算缺乏某種后來被認(rèn)為對數(shù)學(xué)來說至關(guān)重要的品質(zhì)，即嚴(yán)格性。例如，古代埃及人將一個圓的面積等同于一個邊長為其直徑的8/9的正方形的面積。這一方法相當(dāng)于取數(shù)學(xué)常數(shù)的值為256/81。一方面，這是了不起的，因?yàn)樗�與精確值的誤差還不到百分之零點(diǎn)五。但另一方面，這一結(jié)果是完全錯誤的。為什么要在乎百分之零點(diǎn)五的誤差呢？因?yàn)榘＜叭说慕�似值忽視了的真值的一個深刻而基本的性質(zhì)：它根本不可能寫成人和分?jǐn)?shù)的形式。這是一個原則問題，與任何純粹的數(shù)量精確性問題無關(guān)。的無理性直到19世紀(jì)后半葉才被證明，早期希臘人確實(shí)發(fā)現(xiàn)了不能用分?jǐn)?shù)表示的數(shù)，這使他們感到困惑和震驚。希臘人的高明之處是在于：他們認(rèn)識到數(shù)學(xué)中原則的重要性，認(rèn)識到數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一門從一套概念和法則出發(fā)、嚴(yán)格地推導(dǎo)出精確結(jié)果的學(xué)科。

公元前300年左右，亞歷山大城歐幾里得的《原本》集希臘幾何知識之大成。在隨后幾個世紀(jì)里，希臘人在幾何與代數(shù)兩個領(lǐng)域里都作出了重大的推進(jìn)。阿基米德可謂古代世界最偉大的數(shù)學(xué)家，他深入研究幾何圖形的性質(zhì)并創(chuàng)造了求面積和體積以及計算新的近似值的天才方法。另一位亞歷山大數(shù)學(xué)家丟番圖考察了代數(shù)問題中文字和數(shù)字混雜的情況，指出抽象可以使數(shù)學(xué)極大地簡化。因此丟番圖應(yīng)該是在代數(shù)中引進(jìn)符號的第一人。一千多年以后，法國人笛卡兒將代數(shù)與幾何兩大領(lǐng)域結(jié)合起來而開創(chuàng)了解析幾何。笛卡兒的工作為牛頓發(fā)明微積分鋪平了道路，微積分與解析幾何共同標(biāo)志著科學(xué)研究的嶄新方法。自牛頓時代以來，數(shù)學(xué)創(chuàng)新的步伐始終激動人心，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科代數(shù)、幾何與微積分（或函數(shù)理論）相互滲透、相互滋養(yǎng)，并引發(fā)在諸如概率論、數(shù)論和熱的理論等各種不同領(lǐng)域的深入應(yīng)用。隨著數(shù)學(xué)的成熟，它所提出的問題也越來越深刻：本書選錄的最后兩位思想家哥德爾和圖靈也許提出了最深刻的問題什么是可知？數(shù)學(xué)的未來發(fā)展將一如既往，肯定會（直接或間接地）影響我們的生活方式和思維方式。古代世界創(chuàng)造了物化的奇跡，例如埃及的金字塔。而正如本書所闡明的，現(xiàn)代世界的奇跡則是我們自身的理解力。