本書所探討的內(nèi)容是整數(shù)，所以書中少有提到分?jǐn)?shù)及無(wú)理數(shù)。人們通常把討論如何從一個(gè)不定方程的無(wú)窮多個(gè)解中選出哪些是整數(shù)，或至少是有理數(shù)（通常是正有理數(shù)）解的學(xué)問，叫作不定分析或丟番圖分析。本書不是要徹底研究這一學(xué)科，而僅是針對(duì)這個(gè)學(xué)科的一個(gè)十分特殊的部分；較之于整個(gè)學(xué)科，大致類似簡(jiǎn)化方程和解方程的學(xué)問——代數(shù)學(xué)——與整個(gè)分析學(xué)的關(guān)系一樣。如同我們把所有關(guān)于數(shù)量的討論都放在分析學(xué)的大標(biāo)題下一樣，我們把整數(shù)（以及分?jǐn)?shù)——在它們由整數(shù)所確定的意義下）作為算術(shù)學(xué)的恰當(dāng)?shù)难芯繉?duì)象。然而，人們口中常說(shuō)的算術(shù)學(xué)，不外乎是計(jì)數(shù)與計(jì)算的學(xué)問（用恰當(dāng)?shù)姆��?hào)表示數(shù)，例如十進(jìn)制表示法及其運(yùn)算）。算術(shù)學(xué)還經(jīng)常涉及到這樣一些與算術(shù)毫無(wú)關(guān)系的問題（如對(duì)數(shù)理論），或者關(guān)于所有數(shù)量的問題。因此，將前面的內(nèi)容稱為“初等算術(shù)”是恰當(dāng)?shù)�，以便與“高等算術(shù)”區(qū)別開來(lái)。高等算術(shù)的研究范圍包括了對(duì)整數(shù)性質(zhì)的一般研究。本書將只討論高等算術(shù)。


歐幾里得在他的《幾何原本》的第七卷以及其后幾卷中以古代學(xué)者慣用的方法優(yōu)美而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赜懻摰囊恍﹩栴}，屬于高等算術(shù)的范疇，但其討論的內(nèi)容都是本學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容。丟番圖的知名著作致力于研究不定分析問題，他取得了豐富的成果；考慮到這些問題的難度，加上丟番圖處理這些問題時(shí)使用的巧妙方法，尤其是當(dāng)時(shí)作者手頭幾乎沒有多少數(shù)學(xué)工具可以使用，人們因而對(duì)作者的獨(dú)特思維和熟練手法極其關(guān)注。解決這些問題主要是靠靈活的技巧，而不需要掌握深刻的數(shù)學(xué)原理。由于這些問題非常特殊而不能產(chǎn)生普適的結(jié)論，所以，如果說(shuō)丟番圖的著作開創(chuàng)了新時(shí)代，這是因?yàn)榇藭�最早呈現(xiàn)了代數(shù)學(xué)所特有的技巧，而不是因?yàn)樗�以新的發(fā)現(xiàn)豐富了高等算術(shù)。為高等算術(shù)做出更多貢獻(xiàn)的是現(xiàn)代的學(xué)者們，其中皮耶·德·費(fèi)瑪，萊昂哈德·歐拉，約瑟夫·拉格朗日以及阿德里安·馬里·勒讓德（以及另外少數(shù)幾位）開啟了這座科學(xué)神殿的大門，并揭示了其中的寶藏是何等豐富。我在此就不一一羅列他們的成果，因?yàn)檫@些成就在勒讓德為歐拉《代數(shù)學(xué)》所作序中已經(jīng)列出，在拉格朗日最近的著作（我很快就要提到）中也可以找到；在本書合適的位置，我也會(huì)引用其中的很多成果。


本書的目的是介紹我在高等算術(shù)領(lǐng)域的研究。由于我五年前就承諾要出版此書，因而書中既有當(dāng)時(shí)就開始的研究，也有后來(lái)的研究。為了不讓人詫異為什么本書幾乎從高等算術(shù)的最初步知識(shí)開始探討，還要重新拾起許多已被其他人積極研究過的成果，我必須解釋，當(dāng)我 1795 年初開始轉(zhuǎn)而進(jìn)行這個(gè)領(lǐng)域的研


究時(shí)，我并不知道現(xiàn)代學(xué)者在此領(lǐng)域中的發(fā)現(xiàn)，也沒有找到這些發(fā)現(xiàn)的方法。當(dāng)時(shí)的情況是這樣的：在忙于其他研究時(shí)，我遇到了一個(gè)極不尋常的算術(shù)定理（如果我沒記錯(cuò)的話，這就是本書第 108 條所說(shuō)的那個(gè)定理），因?yàn)槲矣X得這條定理如此優(yōu)美，還因?yàn)槲覒岩伤�與更加深刻的結(jié)果有關(guān)，所以我全身心投入其中，以求能夠理解它背后的原理并取得嚴(yán)格的證明。當(dāng)我成功解決了這個(gè)問題后，我被這一類問題深深吸引，愛不釋手。于是，隨著一個(gè)結(jié)論引出另一個(gè)結(jié)論，我在拜讀到其他學(xué)者的著作之前，就已經(jīng)完成了本書前四章所介紹的絕大部分內(nèi)容。最后，當(dāng)我有可能拜讀這些天才人物的著作后，我才認(rèn)識(shí)到我所深入思考的大部分內(nèi)容都是早已知道的東西。但是，這只是更為增加了我的興趣，并讓我努力嘗試沿著他們的足跡進(jìn)一步發(fā)展算術(shù)研究，第 5、第 6 和第 7章收錄了這部分研究結(jié)果。過了一段時(shí)間，我開始考慮發(fā)表我的研究成果，并說(shuō)服自己保留早期研究的成果，這是因?yàn)�，�?dāng)時(shí)還沒有一本書把其他學(xué)者的工作收集在一起，它們分散在一些研究院的學(xué)術(shù)論文中；其次，很多研究的結(jié)論是全新的，且其中大多數(shù)結(jié)論還是用新方法討論的；最后，后期的結(jié)論與以前的結(jié)論之間有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)聯(lián)，如果不一開始重提前面的結(jié)論，后面的新結(jié)論就無(wú)法解釋清楚。


恰在此時(shí)，一部杰出的著作——《數(shù)論》問世，其作者是勒讓德。彼時(shí)，勒讓德已經(jīng)在高等算術(shù)領(lǐng)域做出了非常大的貢獻(xiàn)。在書中，他不僅把當(dāng)時(shí)所發(fā)現(xiàn)的所有結(jié)果都收集在一起并加以系統(tǒng)整理，而且添加了許多他本人的新成果。因?yàn)楫?dāng)我注意到這本書時(shí)，我的作品的大部分已經(jīng)交到了出版商的手中，所以我無(wú)法在我書中的類似章節(jié)參考這本書。但是我感到必須對(duì)一些篇章做些補(bǔ)充注釋，我相信這位聲名赫赫的先生能夠理解，不會(huì)感到被冒犯。


四年來(lái)，本書的出版遇到了許多困難。在這一段時(shí)間里，我不僅繼續(xù)過去已經(jīng)開始進(jìn)行的研究（當(dāng)時(shí)為了避免本書篇幅過大，我決定分離出這些研究，準(zhǔn)備在另外的地方發(fā)表），而且也從事許多新的研究。此外，許多我過去只是稍有觸及而當(dāng)時(shí)覺得似乎不必詳細(xì)討論的問題（例如，第 37 條，第 82 條以及


其他若干條），也得到了進(jìn)一步發(fā)展，并產(chǎn)生了一些看來(lái)是值得發(fā)表的更一般的結(jié)論。最后，主要由于第 5 章的內(nèi)容，本書的篇幅變得大大超出我原來(lái)的預(yù)期，使我只得削減了最初打算寫的不少內(nèi)容，特別是刪去了整個(gè)第 8 章（本書有幾處提到了第 8 章，它討論了任意次代數(shù)同余方程的一般處理）。一旦有可能，我會(huì)發(fā)表這些內(nèi)容，它們的篇幅可以輕易地構(gòu)成與本書篇幅相同的一本書。


在討論幾處難題時(shí)，我采用了綜合性證明并省去了結(jié)果推導(dǎo)過程。這是為了盡可能地簡(jiǎn)潔。


第 7 章討論的是分圓理論或分正多邊形理論，雖然與算術(shù)無(wú)關(guān)，但其中的原理完全基于高等算術(shù)。幾何學(xué)者們也許會(huì)因?yàn)檫@個(gè)事實(shí)感到驚訝，但（我希望）他們會(huì)樂于看到由這種處理方法衍生出的新結(jié)論。


以上就是我要請(qǐng)讀者注意的一些事情。本書的優(yōu)劣我不好加以評(píng)判。我衷心希望本書能夠取悅那些關(guān)心科學(xué)發(fā)展的人士，不論是為他們提供一直尋找的問題的解法，還是為他們開啟通向新發(fā)現(xiàn)的途徑。


卡爾.弗里德里希.高斯