20世紀美國數學史家莫里斯·克萊因（Mor-risKline,19081992）認為,文藝復興是數學精神的復興。文藝復興時期的意大利畫家達·芬奇也承認,只有緊緊地依靠數學,才能穿透那琢磨不透的思想迷魂陣。也正因為文藝復興打通了數學與藝術的界限,才使得接下來的17 世紀成為天才的世紀,且有多位橫跨文理的巨人。以至于英國哲學家懷特海(AlfredWhitehead,18611947)在列舉了諸多偉大發(fā)現(xiàn)之后感嘆道,這個世紀可以說是時間不夠,沒法把天才人物的重大事件擺布開來。
相比之下,音樂與數學的關系更為隱秘,但歷史卻更加悠久,肇始于畢達哥拉斯時代。有一天,這位哲人走過一家鐵匠鋪,聽到了叮叮當當的聲音,他經過研究,發(fā)現(xiàn)了音程之間的數的關系,繼而提出了萬物皆數這一哲學論斷,持續(xù)影響了后世的歐洲文明。而到了18 和19 世紀,德意志的名山哈茨山南北兩側,兩座地理上對稱的小城愛森納赫和不倫瑞克,相繼誕生了音樂之父巴赫和數學王子高斯。前者被譽為音樂家中的數學家,后者的數學發(fā)現(xiàn)和理論有著天籟般的音樂之美。而與巴赫同時代的瑞士數學家歐拉則撰寫了著作《音樂新理論的嘗試》,他還提出了調性網絡的概念,如今仍應用于和聲學的研究。
高斯是非歐幾何學的三位發(fā)現(xiàn)者之一,另一005位發(fā)現(xiàn)者、匈牙利數學家鮑耶生前籍籍無名,但有一句話流傳后世,從虛無中,我開創(chuàng)了一個新的世界。非歐幾何學大大拓寬了數學的研究領域,它與歐氏幾何主要的區(qū)別在于公理體系中采用了不同的平行公設。在黎曼幾何中,球面上的直線是大圓(圓心在球心的圓),兩點間的短距離是經過這兩點的大圓上的弧線。例如,從上海飛紐約的短航線不是經過太平洋,而是經過北冰洋。愛因斯坦的廣義相對論原理也在于此,引力源于時空彎曲,光沿著彎曲的弧線傳播。
鮑耶去世七年以后,誕生了二元政體的奧匈帝國,而在他去世前四年,奧地利醫(yī)生弗洛伊德已經出生,他后來創(chuàng)立了精神分析學,對現(xiàn)代主義藝術進行了細致的剖析。弗洛伊德與布洛伊爾合著的《癔病研究》是所謂的自動寫作法的延伸,而他的《夢的解析》是一部具有劃時代意義的巨著,書中分析了夢的工作和基本活動,認為夢是以扭曲的形式體驗到的被禁止的欲望,所有的玩笑都有認真的成分。弗洛伊德還給出了力比多和本我、自我、超我等概念,為潛意識學說奠定了基礎,堪稱人類認識自身的里程碑。特別地,弗洛伊德的學說深刻地影響了超現(xiàn)實主義詩歌和繪畫。
進入20 世紀以來,抽象化成為數學和藝術的共性,我們各舉它們的兩個主要分支拓撲學和抽象代數、超現(xiàn)實主義和表現(xiàn)主義為例,說明共性和個性的存在。拓撲學有著華麗的幾何外表,而抽象代數充斥著理性的符號。在同時代的諸多現(xiàn)代主義藝術流派中,也有兩個有著頗為相似的風格特征,那便是載歌載舞的超現(xiàn)實主義和含蓄內斂的表現(xiàn)主義。有趣的是,弗洛伊德遺產的繼承人、法國哲學家拉康不僅用語言學重新闡釋了弗氏學說,還把拓撲學和集合論作為精神分析學優(yōu)先研究的外部對象。
說到數學和藝術的關系這個主題,有許多科學家(包括諾貝爾獎得主)和藝術家都曾做過不同程度的探討。但我留意到,他們更關注數學和藝術的外在形式,比如對稱之美(也有的在方法論上做過探究)。但從數學和藝術的發(fā)展歷程來揭示它們之間的相似性和本質屬性,似乎還沒有人做過系統(tǒng)的闡釋。本書是這方面的一次嘗試。正如西班牙哲學家喬治·桑塔耶納所言:機智的特征在于深入到事物的隱秘深處,從中找尋到相互關系。幸運的是,本人在數學和藝術兩方面都做了長時間的實踐和探索,有著手的經驗和認識,加以適當的提煉和總結,寫成了這本小書,期待得到各方讀者的批評指正。
值得一提的是,1997 年元月,我獲得機會申報霍英東教育基金會的高等學校青年教師基金項目,決定以數學與藝術為題并列好目錄和寫作計劃,隨后冒昧打電話給有一面之交的數學家吳文俊先生(中國科學院院士、首屆國家科學技術獎得主),沒想到吳老先生認為這是創(chuàng)新項目,值得一試,他欣然同意,并親筆撰寫了書。遺憾的是,那次申請沒有成功,我也沒有再見到吳老。20 多年過去了,設立人文社科專項科普基金,我以數學與藝術為題再次申報,終獲成功,也算可以告慰吳先生在天之靈了.