Je tiens avant toutes choses à remercier ici le professeur 陸佳亮 pour sonaide précieuse lors de la relecture de ce polycopié. Je tiens aussi à remercier
mon ami Franz Ridde, professeur en MPSI au lycée du Parc de Lyon, qui ma fourni un grand nombredexercices.
Ce livre nest pas le cours. Il servira de support au cours, de guide et per- mettra, à ceux quile souhaitent, dapprofondir quelques sujets. Il ne sagit en aucun cas dapprendre par cur son contenu. Dailleurs,lapprentissage par cur est, en général, une mauvaise techniquedapprentissage pour les ma- thématiques, qui proposent peu de résultats, peu de notions, maisdemandent une compréhension profonde de ces notions.
Le cours est découpé en quatre parties :
espaces vectoriels sur R ou C ;
matrices et systèmes linéaires ;
déterminant ;
réduction des endomorphismes.
Les calculs et les dessins ont été, pour la plupart, effectués grce aux logiciels Wxmaxima et Python, sympy, matplotlib, outils dune très grande qualité, gratuits et fonctionnant sur tout système (Linux, Windows, Mac, Androd). Signalons aussi loutil de géométrie plane Geogebra et lexcellent Ipe qui permet dannoter en LATEX 2ε les dessins produits directement ou à laide dun autre outil.
Alain Chillès
線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)教育中的一門重要的基礎(chǔ)課程。本書根據(jù)中法卓越工程師教育培養(yǎng)計(jì)劃數(shù)學(xué)教學(xué)的要求，本著為社會(huì)發(fā)展儲(chǔ)備未來(lái)的精英工程師的目標(biāo)，并參考我們多年來(lái)在上海交通大學(xué)巴黎卓越工程師學(xué)院（學(xué)院名稱于2021 年6 月15 日由上海交大－巴黎高科卓越工程師學(xué)院變更為上海交通大學(xué)巴黎卓越工程師學(xué)院）大二和大三年級(jí)線性代數(shù)課程的教學(xué)實(shí)踐和改革探索的基礎(chǔ)上編寫而成。
全書共分為五章。章主要介紹了實(shí)和復(fù)線性空間，并包含了線性映射、對(duì)偶空間、超平面及應(yīng)用等內(nèi)容，熟練掌握章內(nèi)容是后面章節(jié)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。第二章主要介紹了矩陣和線性方程組系統(tǒng)，包含了矩陣的代數(shù)運(yùn)算、可逆矩陣、矩陣的換底公式、相似矩陣、矩陣的初等變換、解線性方程組系統(tǒng)、分塊矩陣等內(nèi)容。第三章主要介紹了行列式及其重要性質(zhì)，通過(guò)行列式了解了矩陣與線性映射的內(nèi)在聯(lián)系等。經(jīng)過(guò)、二、三章節(jié)的鋪墊，在第四章和第五章中，我們重點(diǎn)介紹了自同態(tài)的約化，介紹了對(duì)角化，上三角化等多種方法，并介紹了和多項(xiàng)式的聯(lián)系等內(nèi)容。相對(duì)傳統(tǒng)的線性代數(shù)教材，本書討論問(wèn)題的角度以及難度都有所不同。本書除配有大量的習(xí)題之外，同時(shí)還提供大量的Wxmaxima 和Python、sympy、matplotlib 代碼便于同學(xué)理解和計(jì)算。
本書的出版首先感謝Alain Chillès 教授辛勤的撰寫和不斷反復(fù)的修改完善，其次要感謝上海交通大學(xué)巴黎卓越工程師學(xué)院數(shù)學(xué)組全體同事對(duì)初稿的認(rèn)真閱讀及糾錯(cuò)，并給予了非常寶貴的修改意見(jiàn)。本書的出版同時(shí)得到了上海交通大學(xué)巴黎卓越工程師學(xué)院的鼎力支持，在此深表謝忱！
由于編者水平有限，不妥甚至錯(cuò)誤之處再所難免，歡迎廣大讀者給予批評(píng)指正。
吉宏俊
1 Espaces vectoriels sur R ou C 1
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Sommes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.5 Supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.6 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.7 Dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2.2 Images et noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2.3 Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.4 Cas particulier de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2.5 Factorisation des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . 59
1.3 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.3.1 Étude du dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.3.2 Hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.4.1 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.4.2 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 88
1.4.3 Fonctions spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 92
2 Matrices et systèmes linéaires
2.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.1.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.1.4 Matrices diagonales, matrices triangulaires . . . . . . . . . . . 121
Algèbre linéaire
2.1.5 Trace dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.1.6 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.1.7 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.1.8 Noyau, image et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.2 Relations déquivalence et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.2.1 Relations déquivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.2.2 Équivalence et similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.3 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.3.1 Algorithme du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.3.2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.4 Matrices-blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.4.2 Utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.4.3 Produit de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3 Déterminant 180
3.1 Permutations et groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.2 Formes p-linéaires sur un espace vectoriel de dimension n . . . . . . 184
3.3 Déterminant dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.4 Déterminant dune matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.5 Déterminant dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.6 Méthodes de calcul de déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.7 Un peu de géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
3.8 Retour sur les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4 Réduction des endomorphismes 222
4.1 Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.2 Polynme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.3 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.4 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
4.5 Réduction simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.6 Applications de la réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.6.1 Systèmes linéaires récurrents à coe?icients constants . . . . . 255
4.6.2 Systèmes linéaires différentiels à coe?icients constants . . . . 266
4.6.3 Espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5 Compléments sur la réduction des endomorphismes 280
5.1 Polynmes dendomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Table des matières
5.1.1 Polynmes dendomorphisme et polynmes annulateurs . . . 280 5.1.2
Le lemme des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.1.3 Polynme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.1.4 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.1.5 Retour sur le calcul de puissances de matrices . . . . . . . . . 290
5.2 Topologie sur les endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.3 Décomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.4 Commutant et réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.5 Résolution déquations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.6 Invariants de similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.7 Un exemple dutilisation de la réduction sur un corps fini . . . . . . 357
Définitions 360
Théorèmes 362
Commandes Wxmaxima 363
Commandes Python 365
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