第一篇 復(fù)變函數(shù)論 第1章 復(fù)數(shù)的引入及其運(yùn)算、復(fù)變函數(shù) 2 1.1 實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集的必要性 2 1.1.1 物理需求 2 1.1.2 數(shù)集封閉性需求 3 1.2 實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集 4 1.2.1 引入復(fù)數(shù)的基本假設(shè) 4 1.2.2 復(fù)數(shù)的基本特點(diǎn) 5 1.3 實(shí)數(shù)運(yùn)算擴(kuò)展到復(fù)數(shù)運(yùn)算 5 1.3.1 加法擴(kuò)展 5 1.3.2 減法擴(kuò)展 5 1.3.3 乘法擴(kuò)展 5 1.3.4 除法擴(kuò)展 6 1.3.5 冪運(yùn)算擴(kuò)展 6 1.4 實(shí)變函數(shù)擴(kuò)展到復(fù)變函數(shù) 12 1.4.1 復(fù)變函數(shù) 12 1.4.2 區(qū)域解釋 13 1.4.3 復(fù)變函數(shù)特例 13 1.4.4 復(fù)變函數(shù)的二元實(shí)變函數(shù)表示 14 第2章 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù) 16 2.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 16 2.1.1 柯西-黎曼條件 16 2.1.2 函數(shù)可導(dǎo)的充分必要條件 17 2.1.3 極坐標(biāo)系下的柯西-黎曼條件 18 2.1.4 復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則 18 2.2 解析函數(shù) 19 2.2.1 解析函數(shù)的定義 19 2.2.2 解析函數(shù)特例 19 2.2.3 解析函數(shù)的性質(zhì) 19 2.2.4 解析函數(shù)實(shí)部與虛部的關(guān)聯(lián) 22 第3章 復(fù)變函數(shù)的積分 25 3.1 復(fù)變函數(shù)的路徑積分 25 3.1.1 復(fù)變函數(shù)路徑積分的定義 25 3.1.2 路徑積分的實(shí)變函數(shù)表示 25 3.1.3 復(fù)變函數(shù)路徑積分的性質(zhì) 26 3.1.4 積分特例 26 3.2 函數(shù)積分與路徑的關(guān)系 27 3.2.1 單連通區(qū)域、復(fù)連通區(qū)域 27 3.2.2 單連通區(qū)域上的柯西積分定理 28 3.2.3 復(fù)連通區(qū)域上的柯西積分定理 29 3.2.4 柯西積分定理總結(jié) 30 3.2.5 重要積分 30 3.3 柯西積分公式及推論 32 3.3.1 柯西積分公式 32 3.3.2 柯西積分公式的擴(kuò)展 33 3.3.3 柯西積分公式的推論 34 3.3.4 柯西積分公式的應(yīng)用 34 3.4 不定積分 34 第4章 復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)展開 35 4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù) 35 4.1.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義 35 4.1.2 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的判據(jù) 35 4.1.3 收斂級數(shù)之間的關(guān)系 36 4.1.4 各項(xiàng)為函數(shù)時(shí)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性 36 4.1.5 收斂性、連續(xù)性結(jié)論 36 4.2 冪級數(shù) 37 4.2.1 冪級數(shù)的定義 37 4.2.2 冪級數(shù)的收斂判據(jù) 37 4.2.3 收斂半徑計(jì)算例題 39 4.2.4 冪級數(shù)與解析函數(shù) 40 4.3 解析函數(shù)的冪級數(shù)展開 41 4.3.1 解析函數(shù)的泰勒級數(shù)展開 41 4.3.2 解析函數(shù)的洛朗級數(shù)展開 45 4.4 函數(shù)的奇點(diǎn) 51 第5章 復(fù)變函數(shù)積分的留數(shù)定理 53 5.1 積分環(huán)路包圍函數(shù)奇點(diǎn)的積分 53 5.1.1 一個(gè)孤立奇點(diǎn)的情況 53 5.1.2 多個(gè)孤立奇點(diǎn)的情況 54 5.2 函數(shù)奇點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算 54 5.2.1 一般方法 54 5.2.2 可去奇點(diǎn) 54 5.2.3 極點(diǎn)的留數(shù) 54 5.2.4 留數(shù)計(jì)算例題 55 5.3 留數(shù)定理的應(yīng)用 58 5.3.1 應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)積分的可能性 58 5.3.2 類型（一）——含三角函數(shù)的積分計(jì)算 59 5.3.3 類型（二）——反常積分的計(jì)算 60 5.3.4 類型（三）——可化為反常積分的情況 62 5.3.5 類型（四）——實(shí)軸上有奇點(diǎn)的反常積分 64 第6章 函數(shù)的傅里葉變換 66 6.1 函數(shù)展開為傅里葉級數(shù) 66 6.1.1 周期函數(shù)展開為傅里葉級數(shù) 66 6.1.2 傅里葉級數(shù)的收斂性 66 6.1.3 奇函數(shù)、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開 67 6.1.4 有限區(qū)域上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù) 69 6.1.5 復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 69 6.2 非周期函數(shù)的傅里葉變換 70 6.2.1 實(shí)數(shù)形式的傅里葉變換 70 6.2.2 復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換 74 6.2.3 傅里葉變換的基本性質(zhì) 75 6.2.4 多元函數(shù)的傅里葉積分 77 第7章 實(shí)變函數(shù)的拉普拉斯變換 81 7.1 拉普拉斯變換的引入 81 7.1.1 符號法 81 7.1.2 傅里葉變換的延伸 82 7.2 拉普拉斯變換及其基本性質(zhì) 82 7.2.1 拉普拉斯變換的定義 82 7.2.2 一般函數(shù)的拉普拉斯變換 84 7.2.3 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 86 7.3 拉普拉斯變換的反演 88 7.3.1 黎曼-梅林反演公式 88 7.3.2 有理分式的反演法 89 7.3.3 查表法 90 7.3.4 Mathematica軟件應(yīng)用 91 7.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用 92 7.4.1 拉普拉斯變換解方程的思路 93 7.4.2 求解微分方程 93 附錄 拉普拉斯變換函數(shù)表 96 第8章 Delta函數(shù) 99 8.1 δ函數(shù)的定義 99 8.2 δ函數(shù)的性質(zhì) 100 8.2.1 奇偶性 100 8.2.2 階躍函數(shù)可表示為δ函數(shù)的積分 100 8.2.3 挑選性 100 8.2.4 連續(xù)分布函數(shù)與δ函數(shù) 101 8.2.5 δ函數(shù)與方程的根 101 8.3 δ函數(shù)的傅里葉積分 103 8.3.1 δ函數(shù)的傅里葉積分 103 8.3.2 廣義函數(shù)與δ函數(shù) 103 8.4 多維δ函數(shù) 105 第二篇 數(shù)學(xué)物理方程 第9章 定解問題的導(dǎo)出 108 9.1 定解問題 108 9.1.1 泛定方程 109 9.1.2 邊界條件 109 9.1.3 初始條件 109 9.2 定解問題的導(dǎo)出 110 9.2.1 一維定解問題的導(dǎo)出 110 9.2.2 二維定解問題的導(dǎo)出 124 9.2.3 三維定解問題的導(dǎo)出 131 9.3 泛定方程的數(shù)學(xué)分類 136 9.3.1 泛定方程的線性屬性分類 136 9.3.2 泛定方程的齊次性分類 137 9.4 邊界條件的物理屬性分類 137 9.5 邊界條件的數(shù)學(xué)分類 138 9.5.1 邊界條件的線性屬性 138 9.5.2 邊界條件的齊次性 138 9.6 定解問題的物理分類 138 第10章 定解問題的求解——達(dá)朗貝爾公式 140 10.1 達(dá)朗貝爾公式 140 10.1.1 一維振動問題的通解 140 10.1.2 函數(shù)f1(x)和f2(x)的確定 142 10.1.3 特例 142 10.2 端點(diǎn)的反射 145 10.2.1 半波損失 145 10.2.2 正常反射 146 10.3 定解問題的整體性與適定性 147 第11章 定解問題的求解——一維問題的分離變數(shù)法 149 11.1 齊次方程、齊次邊界條件定解問題 149 11.1.1 例題1（兩端第一類齊次邊界條件） 149 11.1.2 例題2（兩端第二類齊次邊界條件） 156 11.1.3 例題3（混合齊次邊界條件） 159 11.2 非齊次泛定方程、齊次邊界條件定解問題 162 11.2.1 傅里葉級數(shù)法 163 11.2.2 沖量定理法（初始條件均為齊次） 165 11.3 非齊次邊界條件的定解問題 169 11.4 一般定解問題處理 173 11.4.1 有界系統(tǒng)的振動問題 173 11.4.2 有界系統(tǒng)的輸運(yùn)問題 174 第12章 定解問題的求解——二維問題的分離變數(shù)法 175 12.1 矩形系統(tǒng)的定解問題 175 12.1.1 例題1（拉普拉斯方程的狄里希利問題） 175 12.1.2 例題2（泊松方程的狄里希利問題） 178 12.2 圓形系統(tǒng)的定解問題 182 12.2.1 例題1（拉普拉斯方程的狄里希利問題） 182 12.2.2 例題2（泊松方程的狄里希利問題） 186 第13章 定解問題的求解——三維問題的分離變數(shù)法 190 13.1 球內(nèi)部的定解問題 190 13.1.1 例題1（球內(nèi)拉普拉斯方程第一邊值問題） 190 13.1.2 例題2（半球內(nèi)拉普拉斯方程邊值問題） 194 13.1.3 例題3（球內(nèi)輸運(yùn)方程第一邊值問題） 197 13.2 球邊界銜接條件定解問題 201 13.3 球外部定解問題 205 13.4 圓柱體內(nèi)部定解問題 208 13.4.1 例題1（圓柱內(nèi)拉普拉斯方程柱側(cè)第一類邊值問題） 208 13.4.2 例題2（圓柱內(nèi)拉普拉斯方程上下兩底面第一類邊值問題） 211 13.5 圓柱體外部定解問題 215 第14章 定解問題的求解——齊次泛定方程分離變數(shù) 218 14.1 一維齊次泛定方程分離變數(shù) 218 14.1.1 一維自由振動方程分離變數(shù) 218 14.1.2 一維自由輸運(yùn)方程分離變數(shù) 219 14.2 二維齊次泛定方程分離變數(shù) 219 14.2.1 二維拉普拉斯方程在直角坐標(biāo)系中分離變數(shù) 220 14.2.2 二維拉普拉斯方程在極坐標(biāo)系中分離變數(shù) 220 14.2.3 二維自由振動方程在直角坐標(biāo)系中分離變數(shù) 221 14.2.4 二維自由振動方程在極坐標(biāo)系中分離變數(shù) 222 14.2.5 二維自由輸運(yùn)方程在直角坐標(biāo)系中分離變數(shù) 223 14.2.6 二維自由輸運(yùn)方程在極坐標(biāo)系中分離變數(shù) 224 14.3 三維齊次泛定方程分離變數(shù) 225 14.3.1 三維拉普拉斯方程在直角坐標(biāo)系中分離變數(shù) 225 14.3.2 三維拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系中分離變數(shù) 226 14.3.3 三維拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系中分離變數(shù) 227 14.3.4 三維自由振動方程在直角坐標(biāo)系中分離變數(shù) 228 14.3.5 三維自由振動方程在球坐標(biāo)系中分離變數(shù) 229 14.3.6 三維自由振動方程在柱坐標(biāo)系中分離變數(shù) 231 14.3.7 三維自由輸運(yùn)方程在直角坐標(biāo)系中分離變數(shù) 233 14.3.8 三維自由輸運(yùn)方程在球坐標(biāo)系中分離變數(shù) 234 14.3.9 三維自由輸運(yùn)方程在柱坐標(biāo)系中分離變數(shù) 234 第15章 定解問題的求解——施圖姆-劉維爾本征值問題 236 15.1 二階、齊次、線性常微分方程解的結(jié)構(gòu) 236 15.2 二階、齊次、線性、常系數(shù)微分方程的本征值問題 236 15.2.1 第一類齊次邊值條件問題 236 15.2.2 第二類齊次邊值條件問題 239 15.2.3 混合齊次邊值條件問題 241 15.2.4 自然周期邊值條件問題 242 15.3 施圖姆-劉維爾本征值問題 244 15.3.1 施圖姆-劉維爾方程 244 15.3.2 施圖姆-劉維爾本征值問題特例 245 15.3.3 施圖姆-劉維爾本征值問題的共同性質(zhì) 247 15.3.4 希爾伯特空間 250 15.4 常微分方程級數(shù)法求解 251 15.4.1 常微分方程的常點(diǎn)與奇點(diǎn) 251 15.4.2 常點(diǎn)鄰域的級數(shù)解 251 15.4.3 奇點(diǎn)鄰域的級數(shù)解法 254 15.5 二階、齊次、線性、變系數(shù)常微分方程的本征值問題 260 15.5.1 勒讓德方程的解 260 15.5.2 連帶勒讓德方程的解 268 15.5.3 柱側(cè)第一類齊次邊值條件本征值問題 273 15.5.4 柱側(cè)第二類齊次邊值條件本征值問題 282 15.5.5 柱側(cè)第三類齊次邊界條件本征值問題 285 15.5.6 球貝塞爾方程的本征值問題 285 15.6 m階虛宗量貝塞爾方程的特解 289 15.6.1 m階虛宗量貝塞爾方程的第一個(gè)特解 289 15.6.2 m階虛宗量貝塞爾方程的第二個(gè)特解 289 15.6.3 m階虛宗量貝塞爾方程的通解 290 附錄 極限法推演m階諾伊曼函數(shù) 290 第16章 定解問題的求解——格林函數(shù)法 293 16.1 泊松方程的格林函數(shù)法 293 16.1.1 泊松方程的基本積分公式 294 16.1.2 格林函數(shù)求解方法 298 16.1.3 格林函數(shù)法例題 299 16.2 波動方程定解問題的格林函數(shù)法 303 16.2.1 波動問題的格林函數(shù)對稱性 303 16.2.2 波動問題解的積分公式 303 16.2.3 輸運(yùn)問題解的積分公式 304 16.2.4 用沖量定理法求含時(shí)格林函數(shù) 305 第17章 定解問題的求解——積分變換法 308 17.1 傅里葉變換法 308 17.1.1 例題1（一維無限長弦的自由振動問題） 308 17.1.2 例題2（一維無限長桿的自由輸運(yùn)問題） 309 17.1.3 例題3（一維無限長桿的有源輸運(yùn)問題） 310 17.1.4 例題4（一維半無限區(qū)域的限定源擴(kuò)散問題） 311 17.1.5 例題5（一維半無限區(qū)域的恒定表面濃度問題） 312 17.1.6 例題6（三維無界空間的自由振動問題） 314 17.1.7 例題7（三維無界空間的受迫振動問題） 315 17.2 拉普拉斯變換法 317 17.2.1 例題1（一維無限長弦的自由振動問題） 317 17.2.2 例題2（一維半無限區(qū)域的恒定表面濃度問題） 318 17.2.3 例題3（一維無限長傳輸線問題） 319 參考文獻(xiàn) 322