序 言
大學數(shù)學難學是一個眾所周知的事實.但它到底有多難，直到我開始學習大學數(shù)學時，我才明白.對于要把注意重點從高中數(shù)學中以重復性操練為基礎的常規(guī)解題訓練轉移到作為真正數(shù)學的智力體操上來，我毫無準備∶慶幸的是，在我的奮力拼搏下，我通過了初幾個月的學習，而且逐漸地開始理解正式講課中無處不在的大量符號的含義.我發(fā)現(xiàn)，數(shù)學是一門既令人驚嘆又讓人愉悅的生機勃勃的學科，盡管它遠在一條由形式化、簡潔性和邏輯性構成的水流湍急、險象環(huán)生的大河的那一側.
幾年以后，我在從事研究和講授數(shù)學的過程中，發(fā)現(xiàn)一代又一代的數(shù)學家苗子仍在與我當初面臨的同樣問題作戰(zhàn).很自然，一些學生很突出，很快成了技巧嫻熟的數(shù)學家.一些學生沒能完成向更高層次數(shù)學的過渡，于是放棄，不再繼續(xù)學習數(shù)學.其他一些學生很成功，這種"成功"在于能將符號搬來弄去，并在考試中取得高分.但是他們不具備任何有意義的數(shù)學悟性.第四類由有可能成為既技巧嫻熟又聰穎過人的數(shù)學家的學生組成，但他們仍然覺得向更高層次數(shù)學的過渡很困難.這四類學生的共同之處是，他們都是有才能的學生，但他們在中學階段沒有接觸更高層次的數(shù)學就進了大學.有那么多的學生終歸于后兩類，這讓我一直感到吃驚.
進一步的調查發(fā)現(xiàn)，看來幾乎沒有一種圖書資料能以一種清晰的、直觀的，特別是以一種有趣的方式來提供這種過渡性材料.一方面，我們有著標準的教材.當然，這些教材是必需的，但從整體上講它們也是內容非常密集、閱讀非常困難、編排非常緊湊的東西，除了適用于專門的學習和參考外，其他什么都不適用.另一方面，還有許多精彩的"普及性"數(shù)學圖書.然而，這些圖書往往關注數(shù)學中十分前沿的尖端性研究論題，這種論題只與一小部分成功的數(shù)學家直接相關，而且只經(jīng)過數(shù)年的研究.此外，這些圖書往往不包含任何實在的數(shù)學細節(jié);它們有點像在對數(shù)學進行觀光，或對人類智能進行探視，對一個景點拍一張照，然后趕往下一個景點. 雖然它們是長期靈感的重要來源，或者就是一種令人愉快的讀物，但閱讀這種圖書幾乎不需要數(shù)學技巧，人們也幾乎不能從中得到任何數(shù)學技巧.
我覺得這兩個之間肯定可以有一個折中點∶一種真正的數(shù)學書，它表述內容的風格比通常的數(shù)學書更具有談話性、更為直觀而且更為親切.由于這些原因，我靈感迸發(fā)，著手寫這本書一本雜交型的"普及性教科書"，一本我在從事數(shù)學家職業(yè)之前就應該樂于擁有的書.本書的目標很簡單∶
以一種只需要基本的高中數(shù)學為起點的方式.發(fā)掘典型的數(shù)學學位
課程中的核心元素和亮點.強調許多令人驚嘆的結果所具有的自然之美
和實用價值.同時保持數(shù)學上的純正性.
于是，經(jīng)過數(shù)年的努力，這本書現(xiàn)已完成，我想讓它適用于以下人群∶
●有抱負的數(shù)學家，他們想更多地了解關于數(shù)學的真正藝術.
●數(shù)學專業(yè)本科畢業(yè)生，他們愿意閱讀關于其大學數(shù)學課程中各個"亮點"的一種引人入勝的概覽性讀物.
●科學家、工程師和熱情的業(yè)余愛好者，他們想知道數(shù)學家到底是干什么的.
●數(shù)學教師，他們希望對較高層次的內容有一種使人耳目一新的表述，以從中找到例子來激發(fā)自己和學生的靈感.
●進修高等數(shù)學概要或適合詩人的數(shù)學等課程的學生.
就像剛才提到的，數(shù)學是難學的.這本書也不例外.由于所述概念的豐富性，閱讀本書需要在腦力上付出高度的努力.在書中各個不同的地方，需要對附錄中所詳細敘述的數(shù)學知識有一個基本水平上的知曉或熟悉∶然而，本書非常具有談話性，而且各個部分相對獨立，因此可以在不同的深度水平上閱讀∶ 而且，一個論題對另一個論題的依賴性也保持在水平.只要可能，每個新章節(jié)都從頭講起，所以如果某個領域變得太難懂了，或者不令你感興趣了，你可以轉到下一個領域.此外，為了避免破壞內容的流暢性或遺漏掉作為數(shù)學思想之基礎的關鍵點，在一些地方我對某些技術性較強的細節(jié)略而不講.但愿這些地方已被清楚地指明，而這些省略不會影響到大多數(shù)讀者.
數(shù)學是一種激動人心而又充滿活力的藝術形式，我希望本書能給你帶來對數(shù)學之真正意義的某種領悟.
斯蒂芬·弗萊徹·休森
2003年4月