第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 1 第一節(jié) 函數(shù) 1 一、函數(shù)的概念 1 二、函數(shù)的幾種特性 3 三、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 5 四、函數(shù)的運算 6 五、初等函數(shù) 7 習(xí)題1-1 7 第二節(jié) 數(shù)列的極限 8 一、數(shù)列極限的定義 9 二、數(shù)列極限的幾何意義 12 三、收斂數(shù)列的性質(zhì) 13 習(xí)題1-2 15 第三節(jié) 數(shù)列極限的四則運算法則與極限 存在準則 16 一、 數(shù)列極限的四則運算法則 16 二、數(shù)列極限的存在準則 19 習(xí)題1-3 25 第四節(jié) 函數(shù)的極限 26 一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限 26 二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限 27 三、單側(cè)極限 30 四、函數(shù)極限的性質(zhì) 30 五、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 31 習(xí)題1-4 32 第五節(jié) 函數(shù)極限的運算法則和兩個重要極限 33 一、函數(shù)極限的四則運算法則 33 二、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則 35 三、函數(shù)極限存在準則 36 四、兩個重要極限 37 習(xí)題1-5 39 第六節(jié) 無窮小與無窮大 40 一、無窮小 40 二、無窮大 42 三、無窮小的比較 45 習(xí)題1-6 48 第七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 49 一、函數(shù)連續(xù)性的定義 49 二、函數(shù)的間斷點及其分類 51 習(xí)題1-7 55 第八節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 56 一、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 56 二、初等函數(shù)的連續(xù)性 58 習(xí)題1-8 61 第九節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 62 一、有界性與最大值最小值定理 62 二、零點定理與介值定理 63 三、知識延展——一致連續(xù)性 65 習(xí)題1-9 67 總習(xí)題一 68 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 70 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念 70 一、引例 70 二、導(dǎo)數(shù)的定義 71 三、求導(dǎo)舉例 74 四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 77 五、變化率模型 78 六、知識延展——分段函數(shù)在分界點處 可導(dǎo)性的判定 80 習(xí)題2-1 83 第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則 86 一、四則運算求導(dǎo)法則 86 二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 89 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 91 四、基本導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則 95 五、知識延展——幾類函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 96 習(xí)題2-2 97 第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) 99 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念 99 二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則 102 三、知識延展——高階導(dǎo)數(shù)的計算方法 104 習(xí)題2-3 106 第四節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 107 一、隱函數(shù)的定義及求導(dǎo)方法 107 二、對數(shù)求導(dǎo)法 111 三、隱函數(shù)的常用求導(dǎo)方法小結(jié) 113 習(xí)題2-4 114 第五節(jié) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與 相關(guān)變化率 115 一、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 115 二、相關(guān)變化率 123 習(xí)題2-5 126 第六節(jié) 函數(shù)的微分 127 一、微分的定義 127 二、可微與可導(dǎo)的關(guān)系 128 三、微分的幾何意義 130 四、基本初等函數(shù)的微分公式及微分運算 法則 130 五、微分在近似計算中的應(yīng)用 134 六、知識延展——高階微分 136 習(xí)題2-6 138 總習(xí)題二 140 第三章 微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 143 第一節(jié) 微分中值定理及其應(yīng)用 143 一、羅爾定理 143 二、拉格朗日中值定理 146 三、柯西中值定理 148 四、知識延展——廣義羅爾定理 150 五、高階挑戰(zhàn)——達布定理 152 習(xí)題3-1 152 第二節(jié) 泰勒中值定理及其應(yīng)用 155 一、泰勒多項式 155 二、泰勒中值定理 156 三、麥克勞林公式 158 四、近似計算 162 五、知識延展——泰勒公式的應(yīng)用 163 習(xí)題3-2 167 第三節(jié) 洛必達法則 169 一、00型未定式 169 二、∞∞型未定式 173 三、其他類型未定式 175 四、知識延展——廣義洛必達法則 182 習(xí)題3-3 183 第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 185 一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 185 二、曲線的凹凸性與拐點 188 三、知識延展——凸函數(shù)的幾種定義 192 習(xí)題3-4 194 第五節(jié) 函數(shù)的極值與最值 195 一、函數(shù)的極值及其求法 196 二、最大值最小值問題 200 三、知識延展——定理3.5.3的推廣 201 習(xí)題3-5 202 第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪 203 一、曲線的漸近線 203 二、函數(shù)圖形的描繪 204 習(xí)題3-6 206 第七節(jié) 曲率 207 一、曲率的概念 207 二、曲率的計算公式 209 三、曲率圓與曲率半徑 212 四、知識延展——弧微分公式 214 習(xí)題3-7 215 總習(xí)題三 216 第四章 不定積分 219 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 219 一、原函數(shù)與不定積分的概念 219 二、基本積分表 221 三、不定積分的性質(zhì) 222 四、知識延展——不連續(xù)函數(shù)的原函數(shù) 224 習(xí)題4-1 225 第二節(jié) 第一類換元法 225 一、第一類換元法 226 二、知識延展——含有抽象函數(shù)的不定積分 234 習(xí)題4-2 235 第三節(jié) 第二類換元法 236 習(xí)題4-3 243 第四節(jié) 分部積分法 244 一、分部積分法 244 二、知識延展——推廣的分部積分法 248 習(xí)題4-4 250 第五節(jié) 有理函數(shù)及可化為有理函數(shù)的 不定積分 252 一、有理函數(shù)的不定積分 252 二、知識延展——奧斯特洛格拉得斯基方法 258 三、三角函數(shù)有理式的不定積分 259 四、雜例 262 習(xí)題4-5 266 總習(xí)題四 267 第五章 定積分 269 第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì) 269 一、引例 269 二、定積分的定義 270 三、定積分的存在條件 271 四、定積分的幾何意義 272 五、定積分的性質(zhì) 272 六、知識延展——定積分的進一步性質(zhì) 273 習(xí)題51 274 第二節(jié) 定積分的計算 275 一、利用數(shù)列極限計算定積分 275 二、利用定積分的幾何意義計算定積分 276 三、利用牛頓萊布尼茨公式計算定積分 277 四、知識延展——定理5.2.1的更一般的 表述 278 習(xí)題52 279 第三節(jié) 定積分的換元積分法和分部積分法 279 一、定積分的換元積分法 279 二、定積分的分部積分法 281 三、知識延展——定積分的換元積分法和 分部積分法的使用注意事項 282 習(xí)題53 283 第四節(jié) 積分上限的函數(shù) 284 一、積分上限的函數(shù) 284 二、積分上限函數(shù)的連續(xù)性 285 三、積分上限函數(shù)的可導(dǎo)性 286 四、知識延展——積分上限函數(shù)的相關(guān)結(jié)論 288 習(xí)題54 289 第五節(jié) 反常積分 290 一、問題提出 290 二、無窮限的反常積分 292 三、無界函數(shù)的反常積分 294 四、知識延展——反常積分的審斂法與 Γ函數(shù) 297 習(xí)題55 302 第六節(jié) 定積分相關(guān)綜合問題 303 一、常用結(jié)論 303 二、含參數(shù)的積分的極限問題 310 三、積分不等式的證明 312 習(xí)題56 315 總習(xí)題五 316 第六章 定積分的應(yīng)用 318 第一節(jié) 定積分的元素法 318 第二節(jié) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 320 一、平面圖形的面積 320 二、立體的體積 325 三、平面曲線的弧長 331 四、知識延展——旋轉(zhuǎn)曲面的面積 333 習(xí)題6-2 335 第三節(jié) 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 336 一、變力沿直線所做的功 337 二、水壓力 339 三、引力 342 習(xí)題6-3 343 總習(xí)題六 345 第七章 微分方程 347 第一節(jié) 微分方程的基本概念 347 一、微分方程的基本概念 347 二、知識延展——微分方程建模 351 習(xí)題7-1 353 第二節(jié) 可分離變量的微分方程 354 一、可分離變量的微分方程的定義 354 二、可分離變量的微分方程的解法 354 三、知識延展——變量代換法求解微分方程 357 習(xí)題7-2 358 第三節(jié) 齊次方程 359 一、齊次方程的定義 359 二、齊次方程的解法 360 三、知識延展——可化為齊次的方程 362 習(xí)題7-3 363 第四節(jié) 一階線性微分方程 364 一、線性方程 364 二、伯努利方程 367 三、知識延展——兩種類型一階隱式方程 的解法 369 習(xí)題7-4 371 第五節(jié) 可降階的高階微分方程 372 一、y(n)=f(x)型的微分方程 372 二、y″=f(x, y′)型的微分方程 373 三、y″=f(y, y′)型的微分方程 374 習(xí)題7-5 375 第六節(jié) 高階線性微分方程 376 一、高階線性微分方程的基本概念 376 二、齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 377 三、非齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 380 習(xí)題7-6 382 第七節(jié) 常系數(shù)齊次線性微分方程 382 一、常系數(shù)齊次線性微分方程的基本概念 382 二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解 383 三、n階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解 386 習(xí)題7-7 389 第八節(jié) 常系數(shù)非齊次線性微分方程 389 一、f(x)=eλxPm(x)形式 390 二、f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］ 形式 392 三、知識延展——微分方程的復(fù)值解 394 習(xí)題7-8 396 總習(xí)題七 396 參考文獻 398