前言
促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的力量一方面是自身矛盾運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)部力量，另一方面是由人類社會(huì)實(shí)踐所產(chǎn)生的外部力量，在內(nèi)外兩股力量的驅(qū)動(dòng)下，數(shù)學(xué)正以前所未有的發(fā)展速度影響著各行各業(yè).數(shù)學(xué)分析是以極限為工具來(lái)研究實(shí)值函數(shù)的一門課程，又稱為高級(jí)微積分.微積分從萌芽到發(fā)展經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的時(shí)期，被稱為人類思維的最偉大的成果之一，是一顆光輝燦爛的明珠.數(shù)學(xué)分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)以及其他專業(yè)最重要的基礎(chǔ)，如果把數(shù)學(xué)比喻成一個(gè)王國(guó)的話，那么數(shù)學(xué)分析就是這個(gè)王國(guó)的基礎(chǔ)語(yǔ)言.隨著人工智能、信息科技、科學(xué)計(jì)算以及金融數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)分析的思想和方法幾乎滲入現(xiàn)代科技的所有領(lǐng)域，越來(lái)越多的行業(yè)迫切需要高深的現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)，而要運(yùn)用數(shù)學(xué)來(lái)創(chuàng)造高技術(shù)，就必須掌握好數(shù)學(xué)分析這一重要的數(shù)學(xué)王國(guó)語(yǔ)言.現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)正在由工程層面的創(chuàng)新轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)理論層面的研究，而基礎(chǔ)理論層面的研究需要抽象思維、邏輯推理、科學(xué)計(jì)算和空間想象等能力.與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)分析集中體現(xiàn)了這些能力的培養(yǎng).當(dāng)今誰(shuí)能占領(lǐng)數(shù)學(xué)最高地，誰(shuí)就能占領(lǐng)技術(shù)的最高地.數(shù)學(xué)在現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步中扮演著越來(lái)越重要的角色.
數(shù)學(xué)分析的創(chuàng)立始于17世紀(jì)以牛頓和萊布尼茨為代表的開(kāi)創(chuàng)性工作，而完成于19世紀(jì)以柯西和魏爾斯特拉斯為代表的奠基性工作.經(jīng)過(guò)兩三百年的努力，數(shù)學(xué)分析的理論框架已經(jīng)相當(dāng)完美.盡管國(guó)內(nèi)外已經(jīng)出版的數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)、微積分教材為數(shù)頗多，但針對(duì)各類院校的教學(xué)實(shí)際和要求，對(duì)于教材的編排和內(nèi)容設(shè)置，也仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智.
從2018年實(shí)施大類培養(yǎng)以來(lái)，北京理工大學(xué)徐特立書院、精工書院、求是書院以及對(duì)數(shù)學(xué)有較高要求的理工科學(xué)生都選修數(shù)學(xué)分析課程，人數(shù)成倍增加.因此，編寫一套適合當(dāng)前大類培養(yǎng)需求，符合教師和學(xué)生使用要求的教材有著重要的意義.本書是我們幾位北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院的教師根據(jù)大類培養(yǎng)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革的要求，結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐編寫的數(shù)學(xué)分析教材.我們編寫此書的想法如下：
第一，注重教材體系完整和嚴(yán)謹(jǐn)，保證整體內(nèi)容和思想上的緊湊、統(tǒng)一，強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以簡(jiǎn)單、平實(shí)、自然的語(yǔ)言來(lái)介紹數(shù)學(xué)分析的基本知識(shí)，而不是以近代數(shù)學(xué)（集合論、拓?fù)�、測(cè)度論、微分流形）的語(yǔ)言來(lái)表述，力求讓讀者容易理解數(shù)學(xué)分析的基本完整理論體系.
（1） 首先對(duì)數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容脈絡(luò)做了梳理，把集合→自然數(shù)→實(shí)數(shù)→極限→連續(xù)→微分→積分的聯(lián)系講清楚，讓初學(xué)者體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，知道先講集合這樣安排的目的.此外，采用戴德金分割來(lái)定義實(shí)數(shù)，而不是將實(shí)數(shù)表示為一個(gè)無(wú)限小數(shù)，雖然用無(wú)限小數(shù)定義比較直觀，但缺乏數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性.
（2） 同一個(gè)研究對(duì)象的內(nèi)容放在一起，例如：對(duì)于數(shù)列，我們把描述實(shí)數(shù)集完備性的各種命題，包括單調(diào)有界數(shù)列必收斂、閉區(qū)間套定理、波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理、數(shù)列柯西收斂原理放在數(shù)列極限章節(jié)中，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與數(shù)列極限放在一起；對(duì)于函數(shù)，把上下極限、海涅定理、函數(shù)柯西收斂原理、一致連續(xù)這些內(nèi)容放在函數(shù)極限和連續(xù)函數(shù)章節(jié)，使這些命題與其直接對(duì)象和概念銜接在一起.這樣處理的好處是內(nèi)容緊湊，不會(huì)讓讀者感到分散凌亂.
（3） 由于一些數(shù)學(xué)概念，例如方向?qū)��?shù)，不同的教材和參考書中有不同的定義形式和描述形式，學(xué)生很容易在學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生困惑，因此對(duì)于概念的引入和定義，本書采用多種定義方式.教學(xué)實(shí)踐表明，這樣做直觀易懂，使得學(xué)生對(duì)概念的理解更透徹，且在看其他參考書時(shí)易于融會(huì)貫通.
（4） 對(duì)形異實(shí)同的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)一化處理.例如，24種函數(shù)極限的統(tǒng)一表述.對(duì)形同實(shí)異的內(nèi)容進(jìn)行比較處理.例如，一致連續(xù)和柯西收斂原理的區(qū)別和聯(lián)系.
第二，重視培養(yǎng)學(xué)生在抽象思維、邏輯推理、空間想象、科學(xué)計(jì)算等諸方面的數(shù)學(xué)能力，加強(qiáng)書中內(nèi)容與其他學(xué)科領(lǐng)域的交叉融合.在篇幅允許的前提下，書中通過(guò)與其他學(xué)科密切相關(guān)的典型例題的引入，介紹了數(shù)學(xué)分析與其他學(xué)科專業(yè)（物理、力學(xué)、化學(xué)、材料、生物、航空航天、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)、機(jī)電、機(jī)械）的聯(lián)系，為其他工科專業(yè)提供現(xiàn)代數(shù)學(xué)的接口，開(kāi)拓學(xué)生的視野，加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型的思想和訓(xùn)練，增加應(yīng)用實(shí)踐能力，并且使得讀者理解自然現(xiàn)象一直是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要源泉.
第三，插入有關(guān)的數(shù)學(xué)史和辯證的數(shù)學(xué)思想，以“人物注記”和“歷史注記”的欄目形式，把數(shù)學(xué)內(nèi)容和歷史事實(shí)以及科學(xué)家的一些評(píng)述附在欄目當(dāng)中，這樣做的好處是多方面的：①學(xué)生能夠從歷史和數(shù)學(xué)家的思想和精神中得到激勵(lì)與啟發(fā)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)也將思政元素自然地融入教材和課堂教學(xué)中；②從數(shù)學(xué)史的角度來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析，能夠讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的概貌，提升綜合科學(xué)素養(yǎng)，感悟數(shù)學(xué)的魅力，從而能夠俯視數(shù)學(xué)王國(guó)；③抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)了辯證的人生哲理，將數(shù)學(xué)分析與人生哲理有機(jī)地結(jié)合在一起.
第四，本書與線上樂(lè)學(xué)、慕課（MOOC）資源相結(jié)合，配套有可供手機(jī)或者計(jì)算機(jī)觀看的樂(lè)學(xué)平臺(tái)課程和數(shù)學(xué)分析慕課，綜合運(yùn)用這些線上資源實(shí)現(xiàn)讀者和作者的全方位交流.借助這種線上資源，可以學(xué)會(huì)在樂(lè)學(xué)平臺(tái)提問(wèn)題并得以及時(shí)解決.
第五，與國(guó)內(nèi)一般高等數(shù)學(xué)、微積分教材相比，本書對(duì)隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而日益淡化的內(nèi)容（如函數(shù)作圖、復(fù)雜的積分技巧）進(jìn)行了適度淡化，而對(duì)日益重要的數(shù)值微分、數(shù)值積分、傅里葉變換和微分方程（包括偏微分方程）進(jìn)行了適當(dāng)加強(qiáng).與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析教材相比，本書增加了與其他學(xué)科密切相關(guān)的解析幾何、線性代數(shù)和微分方程（包括偏微分方程）章節(jié).
第六，權(quán)衡內(nèi)容取舍以及斟酌講述重點(diǎn)，凡屬于分析學(xué)中的基本概念、基本理論，書中不惜篇幅和筆墨，講深，講通俗.
全書分為上下兩冊(cè).本書為下冊(cè)，由李保奎、閆志忠、沈良編寫.其中，閆志忠編寫第8、9、13章，李�？�編寫第11、12章，沈良編寫第7、10章.
本書的完成得到了眾多支持和無(wú)私幫助，在此，我們對(duì)大家的幫助表示衷心的感謝！鑒于我們的水平有限，書中難免有錯(cuò)誤或不妥之處，懇請(qǐng)廣大讀者批評(píng)指正.