第14章 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性
在上冊和中冊我們學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的微積分，從現(xiàn)在開始要學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微積
分。所謂多元函數(shù)，就是有多個自變量的函數(shù)。這種函數(shù)在研究自然現(xiàn)象的過程中隨
處都可遇到。因為研究自然現(xiàn)象總離不開空間和時間，單看空間，在取定一個直角坐
標(biāo)系之后，空間中全體點的集合便和由全體三元有序數(shù)組（x；y；z） 組成的集合R3 建
立了一一對應(yīng)關(guān)系，這樣空間中的每個點就對應(yīng)著三個實數(shù)x；y；z，所以當(dāng)點在空間
中變化時我們就有了三個自變量x；y；z。如果再把時間t 作為一個自變量，則有四個
自變量x；y；z；t。因此一般的物理量通常都有四個自變量因而是四元函數(shù)。如果再需
要把其他某些參量作為自變量來考慮，就得到了具有更多個自變量的多元函數(shù)。因此,
把一元函數(shù)的微積分理論加以發(fā)展，建立多元函數(shù)的微積分理論，是科學(xué)研究的必然
需要.
本章討論多元函數(shù)的極限和連續(xù)性。在一元函數(shù)的微積分理論中已經(jīng)看到，為了
研究一元函數(shù)，必須首先了解實數(shù)域R 的性質(zhì)。與此類似，為了研究多元函數(shù)，必須
首先了解歐幾里得空間，簡稱歐氏空間Rm 的性質(zhì)。Rm 是由全體m 元有序?qū)崝?shù)組
（x1；x2；… ；xm） 組成的一個數(shù)學(xué)體系，有m 個自變量的多元函數(shù)都可看成是從Rm
的某個子集到R 的一個映射，所以它在多元函數(shù)的微積分理論中起著與實數(shù)域R 在
一元函數(shù)的微積分理論中類似的作用。14.1 節(jié)討論Rm 的一些最基本的代數(shù)與分析
性質(zhì)。14.2 節(jié)從一些具體的例子出發(fā)，引出多元函數(shù)的概念。14.3 節(jié)和14.4 節(jié)分別討
論多元函數(shù)的極限和連續(xù)性.
14.1 Rm 中的點列和點集
14.1.1 Rm 中的運算和距離
由全體m 元有序?qū)崝?shù)組（x1；x2；… ；xm） 組成的集合Rm 稱為m 維歐氏空間,
即
Rm = f（x1；x2；… ；xm） ： x1；x2；… ；xm 2 Rg：
從解析幾何我們已經(jīng)知道，三維歐氏空間R3 中的元素既可以叫點也可以叫三維向量,
因為在空間中建立直角坐標(biāo)系后，R3 中的元素既與空間中的點存在一一對應(yīng)關(guān)系，也
與空間中的向量存在一一對應(yīng)關(guān)系。把這些術(shù)語推廣，Rm 中的元素即m 元有序數(shù)組
（x1；x2；… ；xm） 既可以叫Rm 中的點，也可以叫m 維向量.
從線性代數(shù)課程我們知道，在Rm 上有下列三種運算.
（1） 加法和減法運算：對任意x；y 2 Rm，設(shè)x = （x1；x2；… ；xm），y = （y1；y2；… ;
ym），則它們的和x + y 與差x ? y 定義為
x § y = （x1 § y1；x2 § y2；… ；xm § ym）：
（2） 數(shù)乘運算：對任意x = （x1；x2；… ；xm） 2 Rm 和任意實數(shù)?，? 對x 的數(shù)乘
?x 定義為
?x = （?x1；?x2；… ；?xm）：
（3） 內(nèi)積運算：對任意x；y 2 Rm，設(shè)x = （x1；x2；… ；xm），y = （y1；y2；… ；ym），則
它們的內(nèi)積（x；y） 或點積x ￠ y 定義為
（x；y） = x ￠ y = x1y1 + x2y2 + … + xmym：
內(nèi)積（x；y） 或點積x ￠ y 經(jīng)常簡寫為xy，即
xy = （x；y） = x ￠ y = x1y1 + x2y2 + … + xmym：
這些運算已經(jīng)在線性代數(shù)課程中有過詳細(xì)的研究，這里不再重復(fù)了。由內(nèi)積運算可以
定義x 的長度（也稱范數(shù)或模） jxj，即
jxj = p（x；x） = qx2
1 + x2
2 + … + x2
m：
顯然，長度具有以下性質(zhì)：
（1） jxj > 0；jxj = 0當(dāng)且僅當(dāng)x = 0 （非負(fù)性和非退化性）;
（2） j?xj = j?jjxj；8? 2 R；8x 2 Rn （正齊次性）;
（3） jx + yj 6 jxj + jyj （三角不等式）：
如果x 的長度為1，則稱x 為單位向量.
定義14.1.1 對Rm 中任意兩點x = （x1；x2；… ；xm） 和y = （y1；y2；… ；ym）,
稱它們的差x ? y 的長度為這兩個點之間的距離，記作d（x；y），即
d（x；y） = jx ? yj = p（x1 ? y1）2 + （x2 ? y2）2 + … + （xm ? ym）2：
容易看出，點的距離具有以下三個性質(zhì)：
（1） d（x；y） = d（y；x） （對稱性）;
（2） d（x；y） > 0；d（x；y） = 0 當(dāng)且僅當(dāng)x = y （非負(fù)性和非退化性）;
（3） d（x；y） 6 d（x；z） + d（z；y） （三角不等式）：
以后，表示距離的兩個記號d（x；y） 和jx ? yj 我們將混合使用.
14.1.2 Rm 中點列的極限
由Rm 中的點構(gòu)成的序列叫做Rm 中的點列.
如果用
x1；x2；… ；xn；… ;
表示Rm 中的點列，就會和Rm 中點x = （x1；x2；… ；xm） 的坐標(biāo)x1；x2；… ；xm 產(chǎn)生
混淆。為此下面改用P，Q 等大寫符號表示Rm 中的點，從而Rm 中的點列就相應(yīng)地
用fPng，fQng 等符號表示.
定義14.1.2 設(shè)fPng 是Rm 中的一個點列，P0 是Rm 中的一個點。如果
lim
n!1
d（Pn；P0） = lim
n!1jPn ? P0j = 0;
則稱當(dāng)n ! 1 時，Pn 以P0 為極限，或稱當(dāng)n ! 1 時，Pn收斂于P0，記作
lim
n!1
Pn = P0 或Pn ! P0 （當(dāng)n ! 1）：
從定義14.1.2 可知，Pn 收斂于P0 的意思是當(dāng)n ! 1 時，Pn 與P0 之間的距離
越來越小以至于無限地趨近于零。采用"{N 的語言，則lim
n!1
Pn = P0 是指對任意給
定的" > 0，存在相應(yīng)的N 2 N，使得對任意的n > N 都有
d（Pn；P0） = jPn ? P0j < "：
由于點之間的距離是通過它們的坐標(biāo)之差的平方和再開方來計算的，所以點列的
極限與由它們的坐標(biāo)形成的數(shù)列的極限可以相互表示.
定理14.1.1 設(shè)Pn = （x1n；x2n；… ；xmn），n = 1；2；… ，P0 = （x10；x20；… ；xm0）,
則lim
n!1
Pn = P0 的充要條件是
lim
n!1
xjn = xj0；j = 1；2；… ；m；（14：1：1）
即lim
n!1
Pn = P0 的充要條件是對每個1 6 j 6 m，Pn 的第j 個坐標(biāo)形成的數(shù)列xjn
（n = 1；2；… ） 以P0 點的相應(yīng)坐標(biāo)xj0 為極限.
證明由于
d（Pn；P0） =p（x1n ? x10）2 + （x2n ? x20）2 + … + （xmn ? xm0）2
6jx1n ? x10j + jx2n ? x20j + … + jxmn ? xm0j；n = 1；2；… ;
所以當(dāng)式（14.1.1） 成立時，必然也有l(wèi)im
n!1
d（Pn；P0） = 0，即lim
n!1
Pn = P0 成立。反之
由于
jxjn ? xj0j 6 d（Pn；P0）；j = 1；2；… ；m;
所以當(dāng)lim
n!1
Pn = P0，即lim
n!1
d（Pn；P0） = 0 時，顯然也有式（14.1.1） 成立。因此,
lim
n!1
Pn = P0 與式（14.1.1） 等價。證畢.
應(yīng)用定理14.1.1，可以把數(shù)列極限的除涉及大小比較關(guān)系之外的所有命題，都類
推到Rm 中點列的極限。當(dāng)然也可類似于數(shù)列的極限直接從Rm 中點列極限的定義
推出這些命題.
定理14.1.2 一個點列如果收斂，那么它的極限是唯一的.
定理14.1.3 如果點列fPng 收斂，那么它必是有界的，即存在常數(shù)C > 0 使
成立
d（Pn;O） 6 C；n = 1；2；… ：
其中O 表示Rm 中的原點.
定理14.1.2 和定理14.1.3 的簡單證明我們留給讀者.
定理14.1.4（柯西收斂準(zhǔn)則） 點列fPng 有極限的充要條件是對任意給定的" >
0，存在相應(yīng)的N 2 N，使得對任意的l；n > N 都有
d（Pl；Pn） < "：
證明必要性。設(shè)lim
n!1
Pn = P0，則對任意給定的" > 0，存在相應(yīng)的N 2 N，使
得對任意n > N 都有d（Pn；P0） <
"
2
。由此可知對任意的l；n > N 都有
d（Pl；Pn） 6 d（Pl；P0） + d（Pn；P0） <
"
2
+ "
2
= "：
充分性。設(shè)對任意給定的" > 0，存在相應(yīng)的N 2 N，使得對任意的l；n > N 都有
d（Pl；Pn） < "。對每個正整數(shù)1 6 j 6 m，考慮由Pn 的第j 個坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列fxjng.
對任意給定的" > 0，由于當(dāng)l；n > N 時有
jxjl ? xjnj 6 d（Pl；Pn） < ";
所以fxjng 滿足柯西準(zhǔn)則的條件，于是fxjng 收斂。記xj0 = lim
n!1
xjn，j = 1；2；… ;m,
并令P0 = （x10；x20；… ；xm0），則根據(jù)定理14.2.1 可知lim
n!1
Pn = P0，因此Pn 收斂于
P0。證畢.
定理14.1.5（列緊性原理） Rm 中的任意有界點列都有收斂的子列.
證明我們只以m = 2 的情況為例來證明，因為對m > 3 的一般情況證明
是類似的，只是記號更加復(fù)雜。設(shè)fPng 是R2 中的有界點列，并設(shè)Pn = （xn；yn）,
n = 1；2；… ，則fxng 和fyng 都是有界數(shù)列。由fxng 是有界數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的列緊性
原理（定理2.4.3） 知，fxng 有收斂的子列，設(shè)為fxnkg。再考慮數(shù)列fynkg，因為fyng
是有界數(shù)列，所以fynkg 作為fyng 的子列也是有界數(shù)列，從而它也有子列收斂，設(shè)為
fynkl g。令Pnkl
= （xnkl
；ynkl
），l = 1；2；… ，則因為fxnkl g 和fynkl g 都是收斂數(shù)列，所
以根據(jù)定理14.2.1 知，點列fPnkl g 收斂。這就證明了fPng 有收斂的子列fPnkl g。證
畢.
和數(shù)列的情況類似，定理14.1.5 也叫做波爾查諾--魏爾斯特拉斯列緊性原理.
14.1.3 Rm 中的點集
在討論一元函數(shù)的極限、連續(xù)性以及可微性等性質(zhì)時，經(jīng)常需要考慮鄰域、開區(qū)
間、閉區(qū)間等概念。為了研究多元函數(shù)的同類性質(zhì)，我們也需要使用一些類似的概念.
下面給出這些概念的定義.
定義14.1.3 對任意x0 2 Rm 和r > 0，我們記
B（x0；r） = fx 2 Rm ： d（x；x0） < rg；B（x0；r） = fx 2 Rm ： d（x；x0） 6 rg：
B（x0；r） 稱為以點x0 為心、以r 為半徑的開球；B（x0；r） 稱為以點x0 為心、以r 為
半徑的閉球。B（x0；r） 也稱為點x0 的r 鄰域；B（x0；r） 也稱為點x0 的r 閉鄰域.
B（x0；r） 和B（x0；r） 也分別記作Br（x0） 和Br（x0）.
需要注意的是\球" 是針對m > 3 的情況使用的術(shù)語。在m = 2 的情況則改稱為
\圓盤"，即R2 中的B（x0；r） 稱為以x0 為心、以r 為半徑的開圓盤；1B （x0；r） 叫做以
x0 為心、以r 為半徑的閉圓盤。不過，在沒有特別指明m = 2 時，無論是否包含這種
情況，我們都籠統(tǒng)地把B（x0；r） 叫做開球，把1B （x0；r） 稱為閉球.
定義14.1.4 設(shè)S 是Rm 中的一個非空點集，x0 是Rm 中的一個點.
（1） 如果x0 2 S，且存在± > 0，使得點x0 的± 鄰域B（x0；±） 完全包含于S，即
B（x0；±） μ S，則稱x0 為S 的內(nèi)點（圖14-1-1）。S 的全部內(nèi)點組成的集合叫做S 的內(nèi)
域，記作S±.
（2） 如果對任意± > 0，點x0 的± 鄰域B（x0；±） 中都既含有S 中的點又含有S 以外
的點，即B（x0；±）TS 6= ? 且B（x0；±）TSc 6= ?，這里Sc 表示S 的余集：Sc = RmnS,
則稱x0 為S 的邊界點（圖14-1-2）。S 的全部邊界點組成的集合稱為S 的邊界,
記作@S.
（3） 如果對任意± > 0，x0 的± 鄰域B（x0；±） 中都含有S 中異于x0 的點，即
B（x0；±）T（Snfx0g） 6= ?，則稱x0 為S 的聚點或極限點（圖14-1-3）。S 的全部聚點組
成的集合稱為S 的導(dǎo)集，記作S0.
（4） S 與其導(dǎo)集S0 的并集稱為S 的閉包，記作S，即S = S SS0.
（5） 如果x0 2 S，且存在± > 0，使得點x0 的± 鄰域B（x0；±） 中除x0 之外沒有其
他S 中的點，即B（x0；±）TS = fx0g，則稱x0 為S 的孤立點（圖14-1-4）.
顯然，內(nèi)點都是聚點，即S± μ S0。又顯然，孤立點都必然是邊界點，即如果x0 是
S 的孤立點，則x0 2 @S。不是孤立點的邊界點都顯然是聚點。需要注意的是集合S
的內(nèi)點和孤立點都在S 中，但S 的邊界點和聚點可能在S 中，也可能不在S 中。另
外，不難證明S = S S@S（見本節(jié)習(xí)題10）.
對于集合S 以外的、不是S 的邊界點的點x0，顯然一定存在± > 0，使得x0 的±
鄰域B（x0；±） 與S 不相交即B（x0；±）TS = ?，因而B（x0；±） μ Sc。我們稱這樣的點
x0 與集合S有正的距離.
定義14.1.5 設(shè)S 是Rm 中的一個非空點集.
（1） 如果S 中的每個點都是它的內(nèi)點，即對任意x0 2 S，都存在相應(yīng)的± > 0，使
得B（x0；±） μ S，則稱S 為開集。因此S 是開集當(dāng)且僅當(dāng)S = S±.
（2） 如果S 的聚點全在S 中，即S0 μ S，則稱S 為閉集。由于S = S SS0，所以
S 是閉集當(dāng)且僅當(dāng)S = S.
規(guī)定空集既是開集，又是閉集。不過，以后說開集、閉集時，都是指非空的開集和
非空的閉集.
定理14.1.6 （1） E 是開集當(dāng)且僅當(dāng)其余集Ec = RmnE 是閉集.
（2） 任意多個開集的并是開集，任意多個閉集的交是閉集.
（3） 有限多個開集的交是開集，有限多個閉集的并是閉集.
證明（1） 設(shè)E 是開集，要證明它的余集Ec 是閉集。（反證法） 設(shè)Ec 不是閉集,
則存在Ec 的聚點x0 不在Ec 中。于是x0 2 E。因為E 是開集，所以存在± > 0 使得
B（x0；±） μ E。這意味著B（x0；±）TEc = ?，而這與x0 是Ec 的聚點相矛盾。因此Ec
是閉集.
再設(shè)Ec 是閉集。對任意x0 2 E，因為x0 62 Ec 而Ec 是閉集，所以存在± > 0 使