目 錄


第1章 復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)
§1.1 復(fù)數(shù)及其幾何表示
1.1.1 復(fù)數(shù)
1.1.2 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算
§1.2 復(fù)平面
1.2.1 復(fù)數(shù)的模
1.2.2 共軛復(fù)數(shù)
§1.3 復(fù)數(shù)的無(wú)序性
§1.4 復(fù)數(shù)的輻角和它的極坐標(biāo)表示
1.4.1 乘積與商
1.4.2 冪與方根
§1.5 集合的復(fù)數(shù)表示
§1.6 復(fù)變函數(shù)及映射
1.6.1 復(fù)變函數(shù)
1.6.2 映射
§1.7 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性
1.7.1 函數(shù)的極限
1.7.2 函數(shù)的連續(xù)性
§1.8 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分
1.8.1 導(dǎo)數(shù)的定義
1.8.2 微分的定義
1.8.3 可導(dǎo)的必要條件
§1.9 柯西-黎曼條件的應(yīng)用
1.9.1 可導(dǎo)的充分條件
1.9.2 求導(dǎo)法則
§1.10 解析函數(shù)
1.10.1 函數(shù)解析的充要條件
1.10.2 函數(shù)解析與可導(dǎo)、連續(xù)、極限的關(guān)系
§1.11 初等解析函數(shù)
1.11.1 指數(shù)函數(shù)
1.11.2 對(duì)數(shù)函數(shù)
1.11.3 對(duì)數(shù)函數(shù)的解析性
1.11.4 乘冪ab與冪函數(shù)
1.11.5 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)
1.11.6 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)
§1.12 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系
1.12.1 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)
1.12.2 解析函數(shù)的構(gòu)建方法
習(xí)題1
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第2章 復(fù)變函數(shù)的積分
§2.1 復(fù)變函數(shù)積分
2.1.1 有向曲線的定義
2.1.2 復(fù)變函數(shù)積分的定義
2.1.3 積分存在的條件及計(jì)算法
2.1.4 積分的性質(zhì)
§2.2 原函數(shù)與不定積分
§2.3 柯西積分公式
§2.4 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)
習(xí)題2
第3章 級(jí)數(shù)
§3.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
§3.2 級(jí)數(shù)
§3.3 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
3.3.1 一致收斂
3.3.2 一致收斂判別法
§3.4 冪級(jí)數(shù)
3.4.1 冪級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的判別方法
3.4.2 收斂圓和收斂半徑
3.4.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)
§3.5 泰勒級(jí)數(shù)
§3.6 洛朗級(jí)數(shù)
習(xí)題3
第4章 留數(shù)
§4.1 孤立奇點(diǎn)
4.1.1 可去奇點(diǎn)
4.1.2 極點(diǎn)
4.1.3 本性奇點(diǎn)
4.1.4 函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系
4.1.5 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)和狀態(tài)
§4.2 留數(shù)
4.2.1 留數(shù)的定義及留數(shù)定理
4.2.2 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則
4.2.3 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)
§4.3 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用
4.3.1 第一類(lèi)型積分：∫2π0R（cosθ， sinθ）dθ
4.3.2 第二類(lèi)型積分:∫∞-∞P（x）/Q（x）dx
4.3.3 第三類(lèi)型積分:∫∞-∞P（x）Q（x）cos（ax）dx（a>0）
和∫∞-∞P（x）Q（x）sin（ax）dx（a>0）
4.3.4 第四類(lèi)積分:實(shí)軸上有奇點(diǎn)的積分計(jì)算或鋸齒輪廓的
積分
4.3.5 第五類(lèi)積分:∫∞0xαP（x）Q（x）dx（0<α<1）
習(xí)題4
第5章 傅立葉分析
§5.1 傅立葉級(jí)數(shù)
§5.2 周期為任意值的函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)
5.2.1 任意周期的傅立葉級(jí)數(shù)
5.2.2 偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)
§5.3 傅立葉積分
5.3.1 傅立葉積分的性質(zhì)
5.3.2 泊松積分公式
5.3.3 菲涅耳積分公式
5.3.4 復(fù)數(shù)形式的傅立葉積分
§5.4 傅立葉變換
5.4.1 線性性質(zhì)
5.4.2 導(dǎo)數(shù)的傅立葉余弦和正弦變換性質(zhì)
5.4.3 傅立葉變換
5.4.4 傅立葉變換性質(zhì)
5.4.5 卷積
習(xí)題5
第6章 微分方程
§6.1 可分離變量的微分方程
§6.2 一階線性微分方程
§6.3 全微分方程
6.3.1 全微分方程
6.3.2 可變換為全微分方程的方程
§6.4 齊次微分方程
6.4.1 伯努利方程
6.4.2 黎卡提方程
§6.5 二階線性微分方程
§6.6 常系數(shù)齊次二階線性微分方程
§6.7 常系數(shù)非齊次二階線性微分方程
6.7.1 參數(shù)變分法
6.7.2 待定系數(shù)法
6.7.3 疊加原理
§6.8 電子電路建模
§6.9 歐拉微分方程
習(xí)題6
第7章 拉普拉斯變換
§7.1 拉普拉斯變換的定義
§7.2 拉普拉斯變換的線性性質(zhì)
7.2.1 函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換
7.2.2 函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換
7.2.3 第一移位定理（s-移位定理）
7.2.4 單位階躍函數(shù)和脈沖函數(shù)
7.2.5 第二移位定理（t-移位定理）
§7.3 函數(shù)積分的拉普拉斯變換
7.3.1 拉普拉斯變換的一階導(dǎo)數(shù)
7.3.2 拉普拉斯變換的高階導(dǎo)數(shù)
7.3.3 拉普拉斯變換的積分定理
§7.4 拉普拉斯逆變換和卷積
7.4.1 拉普拉斯逆變換
7.4.2 卷積
§7.5 沖擊函數(shù)（δ函數(shù)）
7.5.1 δ函數(shù)
7.5.2 δ函數(shù)的濾波特性
習(xí)題7
第8章 微分方程的級(jí)數(shù)解及特征函數(shù)
§8.1 冪級(jí)數(shù)法
8.1.1 微分法
8.1.2 遞歸法
§8.2 弗羅賓尼斯法
8.2.1 常點(diǎn)與奇點(diǎn)
8.2.2 正則奇點(diǎn)與非正則奇點(diǎn)
§8.3 特征函數(shù)及特征函數(shù)展開(kāi)式
§8.4 勒讓德多項(xiàng)式
8.4.1 勒讓德多項(xiàng)式
8.4.2 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)
8.4.3 勒讓德多項(xiàng)式的遞推關(guān)系
8.4.4 Pn（x）多項(xiàng)式中xn項(xiàng)的系數(shù)公式
8.4.5 勒讓德多項(xiàng)式的一般表達(dá)式
8.4.6 傅立葉-勒讓德級(jí)數(shù)
8.4.7 勒讓德多項(xiàng)式與次數(shù)低于它的多項(xiàng)式正交
8.4.8 勒讓德多項(xiàng)式的根
8.4.9 多項(xiàng)式Pn(x)的導(dǎo)數(shù)與積分公式
§8.5 貝塞爾函數(shù)
8.5.1 Γ函數(shù)
8.5.2 第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)
8.5.3 第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)
8.5.4 Jn（x）的生成函數(shù)
8.5.5 Jn（x）的積分公式
8.5.6 Jν（x）的遞推關(guān)系
8.5.7 Jν（x）函數(shù)的根
8.5.8 傅立葉-貝塞爾級(jí)數(shù)
習(xí)題8
第9章 偏微分方程
§9.1 波動(dòng)方程的建立
§9.2 有限區(qū)間上波動(dòng)方程的分離變量法（傅立葉級(jí)數(shù)解）
9.2.1 初始速度為零、初始位移不為零的定解問(wèn)題
9.2.2 初始位移為零、初始速度不為零的定解問(wèn)題
9.2.3 初始位移和初始速度都不為零的定解問(wèn)題
9.2.4 常數(shù)c及初始條件對(duì)波動(dòng)的影響
9.2.5 具有外力項(xiàng)的波動(dòng)方程
§9.3 整個(gè)實(shí)軸波動(dòng)方程的解法
9.3.1 初始速度為零、初始位移不為零時(shí)求解整個(gè)實(shí)軸
波動(dòng)方程
9.3.2 初始位移為零、初始速度不為零時(shí)求解整個(gè)實(shí)軸
波動(dòng)方程
9.3.3 整個(gè)實(shí)軸波動(dòng)方程的傅立葉變換解法
§9.4 正半實(shí)軸波動(dòng)方程的解法
9.4.1 傅立葉正弦或余弦變換求解正半實(shí)軸波動(dòng)方程
9.4.2 拉普拉斯變換求解正半實(shí)軸的波動(dòng)方程
§9.5 波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法
9.5.1 波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法
9.5.2 非齊次波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法
習(xí)題9
第10章 熱傳導(dǎo)方程與拉普拉斯方程
§10.1 熱傳導(dǎo)方程
§10.2 熱傳導(dǎo)方程的解法
10.2.1 桿兩端溫度為零的熱傳導(dǎo)方程的分離變量（傅立葉級(jí)數(shù)）
法
10.2.2 桿兩端絕緣的熱傳導(dǎo)方程的分離變量（傅立葉級(jí)數(shù)）法
10.2.3 桿的一端向周?chē)�環(huán)境介質(zhì)輻射熱的分離變量法
10.2.4 熱傳導(dǎo)方程初始邊值問(wèn)題的變換
10.2.5 有熱源的熱傳導(dǎo)方程
10.2.6 常數(shù)κ及邊界條件對(duì)熱傳導(dǎo)的影響
10.2.7 無(wú)限介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)方程
10.2.8 無(wú)限介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)方程的傅立葉變換解法
10.2.9 正半實(shí)軸的熱傳導(dǎo)方程
10.2.10 正半實(shí)軸的熱傳導(dǎo)方程的傅立葉正弦變換解法
10.2.11 熱傳導(dǎo)方程的拉普拉斯變換解法
10.2.12 有界區(qū)間上熱傳導(dǎo)方程的拉普拉斯變換解法
10.2.13 半無(wú)界區(qū)間上熱傳導(dǎo)方程的拉普拉斯變換解法
§10.3 拉普拉斯方程
10.3.1 調(diào)和函數(shù)和狄利克雷問(wèn)題
10.3.2 矩形區(qū)域的狄利克雷問(wèn)題
10.3.3 圓盤(pán)區(qū)域的狄利克雷問(wèn)題
10.3.4 無(wú)界區(qū)域的狄利克雷問(wèn)題
10.3.5 上半平面的狄利克雷問(wèn)題
10.3.6 右四分之一平面的狄利克雷問(wèn)題
10.3.7 立方體的狄利克雷問(wèn)題
10.3.8 實(shí)心球的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程
習(xí)題10
附錄
附錄1 Maple軟件簡(jiǎn)明用法
附錄2 各章習(xí)題答案與提示
參考文獻(xiàn)