第一回手指腳趾計(jì)數(shù)自然二進(jìn)十進(jìn)游戲高雅
　　話說(shuō)5萬(wàn)多年前，我們的祖先手持石器木棒，刀耕火種，狩獵捕魚(yú)，逐漸有了“有無(wú)與多少”的概念。他們清點(diǎn)獵物和收獲的野果，拿過(guò)一只山雞，就扳屈一個(gè)指頭，10個(gè)指頭全扳屈了，就在地上放一塊石子，心知已得10只山雞，這就是10進(jìn)制的萌芽。指頭是自然界賦予人類的，所以后人稱從1開(kāi)始的正整數(shù)為自然數(shù)。19世紀(jì)，德國(guó)大數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克說(shuō)：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余一切都是人造的。”此話中的“上帝”如果理解成宇宙，則此言言之有理。我國(guó)民間約定俗成了一種“手指數(shù)”：伸直一個(gè)指頭代表1，伸直兩個(gè)指頭代表2， ，伸直五個(gè)指頭代表5，伸出大拇指與小拇指代表6，伸出食指與中指和大拇指捏在一起代表7，伸出大拇指與食指代表8，伸出食指且彎曲代表9，伸出一個(gè)拳頭代表10。古代南美洲印第安人生活困苦，加之天氣炎熱，幾乎人人赤腳，于是在他們的瑪雅文化中使用20進(jìn)制(手指加腳趾=20)，有些國(guó)家也受了瑪雅文化的影響，例如丹麥人、威爾士人、格陵蘭人等，用一口人代表20，兩口人代表40等等，英國(guó)人常用Score(20，記賬，計(jì)算)這個(gè)詞，他們心目中20和計(jì)數(shù)是有內(nèi)在聯(lián)系的。古巴比倫人(今伊拉克人的祖先)則用60進(jìn)制，全世界的計(jì)時(shí)一直到現(xiàn)在仍在沿用60進(jìn)位制。
　　到了近代，數(shù)學(xué)家把進(jìn)位制用級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)，例如
　　在十進(jìn)制中，2004=4×100+0×101+0×102+2×103
　　模仿十進(jìn)制的這種表達(dá)方式，其他進(jìn)位制的數(shù)字最大者不能超過(guò)進(jìn)位制基數(shù)(十進(jìn)制基數(shù)是10)減1，例如5進(jìn)制中沒(méi)有形如2005這個(gè)數(shù)。
　　在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成10進(jìn)制為254( 符號(hào)表示“規(guī)定”)：2004 4×50+0×51+0×52+2×53=254在20進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成10進(jìn)制為16004：2004 4×200+0×201+0×202+2×203=16004一般而言，正整數(shù)在10進(jìn)制中是N，則當(dāng)N=a0×b0+a1×b1+a2×b2+ +an×bn時(shí)，在b進(jìn)制中寫成N=anan-1an-2 a0，其中b是自然數(shù)。
　　17世紀(jì)，德國(guó)大數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)明了二進(jìn)制，在二進(jìn)制中，只有0與1兩個(gè)數(shù)字，如果0是斷電，1是通電，則用0-1化表達(dá)的整數(shù)適于“電氣化”，所以在計(jì)算機(jī)上二進(jìn)制很吃香。
　　在十進(jìn)制與二進(jìn)制中，可以編制不少好玩的數(shù)字游戲。
　　【游戲1】“用手指計(jì)算器”計(jì)算5到10之間的任二數(shù)之積。
　　例如8×9，一只手上伸出8-5=3個(gè)指頭，另一只手伸出9-5=4個(gè)指頭，3+4=7，7就是積的十位數(shù)字，把兩手彎曲的指頭數(shù)相乘得
　　2×1=2，2就是積的個(gè)位數(shù)，于是8×9=72。
　　道理：ab=［(a-5)+(b-5)］10+(10-a)(10-b)。
　　【游戲2】把你心中的兩位數(shù)的十位數(shù)字乘以5加上7，再二倍，加上原來(lái)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)，結(jié)果是幾？這個(gè)幾減去14就是你讓我猜的那個(gè)數(shù)。
　　道理：設(shè)你心中的兩位數(shù)是ab，則2(5a+7)+b=(10a+b)+14=ab+14。
　　【游戲3】把你心中的三位數(shù)的百位數(shù)字乘以2，加上3，乘以5，加上7，再加上原來(lái)那個(gè)數(shù)的十位數(shù)字，乘以2，加上3，乘以5，再加上原來(lái)那個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，結(jié)果是幾？這個(gè)幾減去235就是你讓我猜的那個(gè)數(shù)。
　　道理：設(shè)你心中的三位數(shù)是abc，則
　　52［5(2a+3)+7+b］+3+c=100a+10b+c+235。
　　【游戲4】把你心中的三位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過(guò)來(lái)，如果你那個(gè)數(shù)百位與個(gè)位不一樣，你告訴我這兩個(gè)數(shù)之差的最后一個(gè)數(shù)字，我就能猜出這個(gè)數(shù)。
　　道理：abc=100a+10b+c，cba=100c+10b+a，a≠c，于是
　　abc-cba=100(a-c)+(c-a)，知道了c-a，就知道a-c，于是差100(a-c)+(c-a)就知道了。
　　【游戲5】① 13579111315
　　② 236710111415
　�、� 456712131415
　　④ 89101112131415
　　一個(gè)不超過(guò)15歲的孩子，只要他告訴我他的年齡在哪幾行，我立刻知道他今年幾歲。
　　謎底：把他告知的那幾行的排頭相加即得。
　　道理：把上述4行的數(shù)(1至15)都表成二進(jìn)制，則知第1行最后數(shù)字是1，第2行倒數(shù)第2個(gè)數(shù)字是1，第3行倒數(shù)第3個(gè)數(shù)字是1，第4行第1個(gè)數(shù)字是1，而未知數(shù)(年齡)x可表示成x=a020+a121+a222+a323x在第n行，則an-1=1，例如你說(shuō)你的年齡在1，3，4行，則a0=a2=a3=1，x=a020+a121+a222+a323=1+22+23=13(歲)。
　　如果你用1到31(25-1)這31個(gè)數(shù)字排成5行，每行16個(gè)數(shù)，排頭分別是1，2，4，8，16，且把在2進(jìn)制中最后一個(gè)數(shù)字為1的數(shù)排在第1行，把2進(jìn)制中倒數(shù)第2個(gè)數(shù)字為1的數(shù)排在第2行，倒數(shù)第3個(gè)數(shù)字為1的排在第3行，倒數(shù)第4個(gè)數(shù)為1的排在第4行，倒數(shù)第5個(gè)數(shù)為1的排在第5行。則可以問(wèn)一位青少年(不超過(guò)31歲)，讓他告知他的年齡在第幾行，再把這幾行的排頭相加，即是他的年齡。
　　依此類推，可以制作n+1行的數(shù)表，排頭分別是1，2，4， ，2n，進(jìn)行相似游戲。且容易證明每行恰有2n個(gè)不同的數(shù)，這些數(shù)來(lái)自｛1，2，3， ，2n+1-1｝。
　　第二回測(cè)天度地作周髀弄巧動(dòng)智證勾股
　　第二回測(cè)天度地作周髀
　　弄巧動(dòng)智證勾股
　　公元前11世紀(jì)，商紂王暴虐無(wú)道，寵淫婦妲己，殺忠臣比干，朝廷揮霍無(wú)度，官僚苛政猛于虎，弄得神州民不聊生；周武王起兵伐紂，一呼百應(yīng)，糾兵不堪一擊，紂王兵敗自焚，西周建國(guó)。武王封其胞弟周公為相，周公乃中國(guó)古代第一聰明人，他上知天文下知地理又精通數(shù)學(xué)，不但有治國(guó)平天下之韜略，而且重視科學(xué)技術(shù)，鼓勵(lì)臣民鉆研自然科學(xué)。朝中一位文臣喚作商高，這位商高是當(dāng)時(shí)有名的星相家，兼善計(jì)算，一日，風(fēng)和日麗，朝中無(wú)要事，周公在王家花園散步，見(jiàn)商高拿一個(gè)繩圈擺弄，只見(jiàn)那繩圈上用紅色等分成12等份，每份1尺(1米=3尺)。周公問(wèn)道：“此物何用？”商高答：“此圈大有學(xué)問(wèn)�！敝芄�追問(wèn)：“何許學(xué)問(wèn)，請(qǐng)先生指教。”商高于是向這位開(kāi)國(guó)重臣論述了下面一段12尺繩圈上的數(shù)學(xué)，商高考慮邊長(zhǎng)為整數(shù)的由繩圈構(gòu)成的三角形。
　　(1)把繩圈拉緊構(gòu)成的三角形中，不會(huì)有邊長(zhǎng)大于5的三角形。
　　事實(shí)上，設(shè)由繩圈構(gòu)成的三角形中邊長(zhǎng)分別為x尺、y尺和z尺，則應(yīng)有x+y+z=12若x≥6，則y+z=12-x≤6≤x而在三角形中，兩邊之和y+z應(yīng)大于第三邊x，矛盾，所以x不應(yīng)大于5。
　　這時(shí)x∈｛1，2，3，4，5｝。
　　(2) 當(dāng)x=1時(shí)，y+z=12-x=11。與(1)同理可知y≤5，z≤5，這樣，y+z≤10，與y+z=11矛盾，可見(jiàn)不存在x=1尺的由繩圈構(gòu)成的三角形。
　　(3) 當(dāng)x=3時(shí)，y+z=12-3=9，y≤3時(shí)，z=9-y≥9-3=6，與z≤5相違，故y≥4；同理z≥4，于是只能是y=4，z=5，或y=5，z=4，即這時(shí)三角形三邊長(zhǎng)只能是3尺、4尺和5尺。
　　(4) 當(dāng)x=4時(shí)，y+z=12-4=8，由y≤5，z≤5知y∈｛3，4，5｝，這時(shí)只有三種可能：
　�、賦=4，y=3，z=5，②x=4，y=4，z=4，③x=4，y=5，z=3。
　　由①②③知繩圈構(gòu)成的邊長(zhǎng)為整數(shù)的三角形，若一邊長(zhǎng)為4，則只有兩種情形，或者邊長(zhǎng)分別為3尺、4尺和5尺，或者是邊長(zhǎng)為4的正三角形。
　　(5) 當(dāng)x=5時(shí)，y+z=12-5=7，又由y≤5，z≤5知y∈｛2，3，4，5｝，這時(shí)只有四種可能：
　�、躼=5，y=4，z=3，⑤x=5，y=5，z=2，⑥x=5，y=3，z=4，⑦x=5，y=2，z=5。
　　綜上所述，商高對(duì)周公下結(jié)論說(shuō)：
　　用這條繩圈構(gòu)成的邊長(zhǎng)為整數(shù)的三角形只有三種：
　　第一種：三邊長(zhǎng)皆4尺的正三角形，它的三個(gè)角都是60°。
　　第二種：底邊長(zhǎng)2尺，兩腰皆5尺的等腰三角形。
　　第三種：邊長(zhǎng)分別為3尺、4尺和5尺的一個(gè)三角形，這個(gè)三角形有一個(gè)角是90°，這個(gè)角與5尺長(zhǎng)的邊相對(duì)；我把它的最短邊叫做勾，最長(zhǎng)的邊叫做弦，另一條邊叫做股，這時(shí)勾2+股2=弦2，(即32+42=52)。
　　勾3股4弦5的這種直角三角形是由三個(gè)連續(xù)整數(shù)為邊長(zhǎng)的唯一的直角三角形。事實(shí)上，設(shè)x為整數(shù)，x-1，x，x+1是一個(gè)直角三角形的三條邊之長(zhǎng)，由
　　勾2+股2=弦2
　　得
　　(x-1)2+x2=(x+1)2
　　x(x-4)=0
　　解得正整數(shù)x=4，于是x-1=3，x+1=5，即這種三角形是唯一的，它就是我們上面由繩圈構(gòu)成的那個(gè)勾3股4弦5的直角三角形。
　　周公聽(tīng)了商高上述一番論述，贊嘆道：“商高賢弟真神人也�！敝芄�向商高咨詢?nèi)绾斡?jì)算天有多高地有多廣。周公問(wèn)道：“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”商高答道：“勾廣3，股修4，徑隅5。”商高指著豎立的8尺長(zhǎng)的牛大腿骨說(shuō)，大人您瞧，這根“周髀”的影子長(zhǎng)6尺，按我們上面從繩圈得到的結(jié)論，即按直角三角形三邊之比為3∶4∶5可知，從“周髀”的頂?shù)健爸荀隆庇白拥亩它c(diǎn)之距離應(yīng)該是2×5=10尺。見(jiàn)圖2-1。如果我們能測(cè)得日下之長(zhǎng)AD，則可以得日高股長(zhǎng)=AD勾長(zhǎng)
　　斜至日弦長(zhǎng)=AD勾長(zhǎng)從而算出日高與“斜至日”。
　　圖2-1
　　后來(lái)周公的后代陳子把商高的“勾三股四弦五”的結(jié)論32+42=52推而廣之，說(shuō)了下面一句十分重要的有歷史意義的話：“求斜至日者，以日下為勾，以日高為股，勾股各自乘，并以開(kāi)方除之，得斜至日�！贝搜暂d入我國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典《周髀算經(jīng)》上。陳子的話用現(xiàn)在的話來(lái)講就是“直角三角形斜邊之長(zhǎng)等于兩直角邊平方和的算術(shù)平方根”，此即我們現(xiàn)在所說(shuō)的勾股定理。據(jù)說(shuō)陳子等人測(cè)得“日下=60000里，日高=80000里”(1里=500米)，于是
　　斜至日=600002+800002=100000里
　　這些數(shù)據(jù)顯然是錯(cuò)的，在不知宇宙的無(wú)窮性和地球是球狀星體又缺乏測(cè)