目錄
前言
第1章 復(fù)數(shù) 1
1.1 基本知識(shí) 1
1.1.1 復(fù)數(shù)的表示和運(yùn)算法則 1
1.1.2 開集、閉集和緊集 1
1.1.3 平面集合的復(fù)數(shù)描述 2
1.1.4 平面上的連續(xù)曲線 2
1.1.5 區(qū)域 3
1.1.6 Wada Lake：平面上的怪異集合* 3
1.2 輻角函數(shù) 3
1.2.1 輻角函數(shù)的多值性 3
1.2.2 輻角函數(shù)的定義：函數(shù)Argz0γ 4
1.3 輻角函數(shù)的單值區(qū)域 6
1.3.1 充分接近的曲線 7
1.3.2 曲線的同倫 9
1.3.3 Riemann的想法 12
1.4 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與Riemann球面 12
1.4.1 Riemann球面 12
1.4.2 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域和C*上的開集 13
習(xí)題 14
第2章 復(fù)變函數(shù) 16
2.1 復(fù)平面與增廣復(fù)平面上的連續(xù)函數(shù) 16
2.1.1 基本定義 16
2.1.2 復(fù)線性函數(shù)f(z)=αz 16
2.2 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 18
2.2.1 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義 18
2.2.2 Cauchy-Riemann方程 18
2.2.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 20
2.3 解析性質(zhì) 21
2.3.1 曲線的切線 21
2.3.2 局部復(fù)線性化 22
2.3.3 保形性蘊(yùn)涵解析性 23
2.4 幾類特殊的解析函數(shù) 24
2.4.1 多項(xiàng)式函數(shù)和有理函數(shù) 25
2.4.2 指數(shù)函數(shù) 26
2.4.3 對(duì)數(shù)函數(shù) 28
2.4.4 冪函數(shù) 28
2.5 復(fù)合函數(shù)的支點(diǎn)以及單值解析分支 30
2.5.1 支點(diǎn) 30
2.5.2 導(dǎo)數(shù)等于0 31
習(xí)題 32
第3章 復(fù)函數(shù)的積分 35
3.1 復(fù)函數(shù)的積分的定義 35
3.1.1 復(fù)變量實(shí)值函數(shù)的積分 35
3.1.2 復(fù)函數(shù)的曲線積分 35
3.1.3 復(fù)曲線積分和實(shí)積分的聯(lián)系 36
3.1.4 兩個(gè)定義的比較 38
3.1.5 分段光滑曲線 39
3.1.6 一個(gè)常用的觀察 40
3.2 矩形區(qū)域上的Cauchy定理 41
3.2.1 一個(gè)不等式 41
3.2.2 解析函數(shù)在一點(diǎn)附近的復(fù)積分 42
3.2.3 矩形區(qū)域上的Cauchy定理 43
3.3 原函數(shù) 44
3.3.1 定義和基本性質(zhì) 44
3.3.2 凸區(qū)域上的解析函數(shù) 46
3.4 單連通區(qū)域上的Cauchy定理 48
3.4.1 定理的證明 48
3.4.2 一般區(qū)域上的Cauchy積分定理 49
3.5 同調(diào)形式的Cauchy定理 50
3.5.1 簡(jiǎn)單閉曲線上的Cauchy積分公式 50
3.5.2 一般形式的Cauchy積分定理 51
3.6 Cauchy定理的應(yīng)用 54
3.6.1 解析函數(shù)的可微性 54
3.6.2 Cauchy不等式與Liouville定理 55
3.6.3 Morera定理 56
3.6.4 內(nèi)閉一致收斂 56
習(xí)題 57
第4章 級(jí)數(shù) 60
4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 60
4.1.1 基本定義 60
4.1.2 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則 60
4.1.3 絕對(duì)收斂與復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的Cauchy乘積 60
4.1.4 復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 61
4.1.5 解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的極限 61
4.2 Taylor展式 62
4.2.1 冪級(jí)數(shù) 62
4.2.2 冪級(jí)數(shù)表示的唯一性 62
4.2.3 Taylor展式 63
4.2.4 解析函數(shù)的唯一性 64
4.3 Laurent展式 65
4.3.1 1 處的解析函數(shù) 65
4.3.2 Riemann球面上只有一點(diǎn)不解析的函數(shù) 68
4.4 解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)附近的行為 70
4.4.1 孤立奇點(diǎn)的定義 70
4.4.2 可去奇點(diǎn) 70
4.4.3 極點(diǎn) 71
4.4.4 本性奇點(diǎn) 72
4.4.5 1 作為孤立奇點(diǎn) 72
4.5 復(fù)積分理論的應(yīng)用 74
4.5.1 fp和Lnf的單值解析分支 74
4.5.2 具有有限多個(gè)奇點(diǎn)的解析函數(shù)的積分 75
4.5.3 極點(diǎn)附近的留數(shù)計(jì)算 76
4.6 利用留數(shù)計(jì)算定積分 78
4.6.1 三角函數(shù)的積分 78
4.6.2 有理函數(shù)的實(shí)積分 79
4.6.3 形若的積分 81
4.6.4 積分區(qū)間內(nèi)有實(shí)可去奇點(diǎn)的積分計(jì)算 83
4.7 亞純函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù) 84
4.7.1 Lnf沿閉曲線的變化 84
4.7.2 分析解釋 85
4.7.3 幾何解釋 87
4.7.4 Rouche定理 88
習(xí)題 89
第5章 解析映射 92
5.1 單葉解析函數(shù) 92
5.1.1 解析函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì) 92
5.1.2 單葉解析函數(shù) 93
5.1.3 開映射定理和極大模原理 93
5.1.4 單葉解析函數(shù)的逆函數(shù) 94
5.2 分式線性變換與C*上的解析自同構(gòu) 95
5.2.1 分式線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣·特殊線性群SL(2，C) 95
5.2.2 分式線形變換的定義域和值域 96
5.2.3 分式線性變換的保圓性 96
5.2.4 交比 98
5.2.5 分式線性變換 99
5.3 Schwarz引理 100
5.3.1 Schwarz引理 100
5.3.2 開圓盤的解析自同構(gòu)群Aut(D) 100
5.3.3 復(fù)平面C的解析自同構(gòu)群 102
5.3.4 增廣復(fù)平面C*的解析自同構(gòu)群 102
5.4 Montel定理 103
5.4.1 基本定義 103
5.4.2 Montel定理的證明 103
5.5 Riemann保形映照原理的證明 105
5.5.1 定理的內(nèi)容及唯一性的證明 105
5.5.2 存在性的證明 106
習(xí)題 110
第6章 調(diào)和函數(shù) 112
6.1 調(diào)和函數(shù) 112
6.1.1 調(diào)和函數(shù)的定義及基本性質(zhì) 112
6.1.2 調(diào)和共軛函數(shù) 112
6.1.3 均值公式 113
6.1.4 Possion積分公式 114
6.2 Dirichlet問題的解 117
6.2.1 Harnack定理 117
6.2.2 次調(diào)和函數(shù) 118
6.2.3 Dirichlet問題的解 119
6.2.4 定義集合類B(f) 120
6.2.5 解存在的條件 121
6.2.6 Barrier的存在性 123
習(xí)題 124
第7章 解析開拓 126
7.1 Schwarz反射定理 126
7.1.1 對(duì)稱區(qū)域 126
7.1.2 H的解析自同構(gòu)群 129
7.1.3 一般形式的Schwarz對(duì)稱原理 129
習(xí)題 130
第8章 無窮乘積 131
8.1 級(jí)數(shù)展開 131
8.1.1 部分積序列 131
8.1.2 無窮乘積與級(jí)數(shù)的關(guān)系 133
8.1.3 無窮乘積的絕對(duì)收斂 134
8.2 整函數(shù)的無窮乘積展開 134
8.2.1 整函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 134
習(xí)題 136
第9章 保形映照在邊界點(diǎn)的行為 138
9.0.1 簡(jiǎn)單邊界點(diǎn) 138
9.0.2 徑向極限 139
9.0.3 保形映照在邊界的連續(xù)延拓 140
習(xí)題 142
附錄A Cauchy核與Poisson核 143
A.1 Poisson積分的一些性質(zhì) 143
A.1.1 進(jìn)一步考察Poisson核 143
A.1.2 由Poisson積分定義的函數(shù) 144
A.2 Cauchy積分和Poisson積分的關(guān)系 145
A.2.1 Cauchy核和Poisson核的比較 145
參考文獻(xiàn) 148
索引 149