第1章模型試驗相似理論
　　1.1相似的概念
　　在自然界中，從宏觀的天體到微觀的粒子，從無機界到有機界，從原生生物到人類，一般來說，都是由一定要素組成的系統(tǒng)，存在著某些具體的屬性和特征。各個系統(tǒng)的屬性和特征是客觀存在的，不依賴于人們的感性認識而存在。在不同類型、不同層次的系統(tǒng)之間可能存在某些共有的物理、化學、幾何等具體屬性或特征。這些屬性和特征具有明確概念和意義，并可以進行數(shù)值上的度量。對于兩個或兩個以上不同系統(tǒng)間存在著某些共有屬性或特征，并在數(shù)值上存在差異的現(xiàn)象，我們稱之為相似。相似的概念首先出現(xiàn)在幾何學中，例如圖1.1.1中的兩個相似三角形，是指對應尺寸不同，但形狀一樣的圖形。
　　這兩個相似的三角形具有如下的性質(zhì)：各對應線段（各邊長、各垂線）的比例相等，各對應角角度相等，即
　　aa′=bb′=cc′=hh′=CL
　　α1=α′1，α2=α′2，α3=α′3（1.1.1）
　　式中，CL為幾何相似常數(shù)。
　　有此同類性質(zhì)的還有相似的多邊形、圓、橢圓、立方體、長方體、球等，而這相似現(xiàn)象均稱為幾何相似。推而廣之，有物理相似。在自然界的一切物質(zhì)體系中，存在著各種不同的物理變化過程，這些物理變化過程可以具體反映各種物理量（如時間、力、速度、加速度、位移、變形等）的變化。物理相似，是指不同物理體系的形態(tài)和某種變化過程的相似。通常所說的“相似”，有下面三種類型：
　　（1）相似，或同類相似（similitude），即兩個物理體系在幾何形態(tài)上，保持所對應的線性尺寸成比例，所對應的夾角角度相等，同時具有同一物理變化過程，如圖1.1.1所示兩個相似三角形。
　　（2）擬似，或異類相似（analogy），即兩個物理體系物理性質(zhì)不同，但它們的物理變化過程，遵循同樣的數(shù)學規(guī)律或模式，如滲流場和電場，熱傳導和熱擴散現(xiàn)象。
　�。�3）差似，或變態(tài)相似（affinity），即兩個物理體系在幾何形態(tài)上不相似，但有同一物理變化過程。
　　本書主要討論的是**種相似，即幾何形狀相似體系進行的同一物理變化過程，這種體系中對應點上的同名物理量之間具有固定的比數(shù)。如果我們找到這些體系中兩個物理現(xiàn)象的同名物理量之間的固定比數(shù)，就可以用其中的一個物理現(xiàn)象去模擬另外一個物理現(xiàn)象。這個固定比數(shù)可以用相似系數(shù)（也稱相似常數(shù)）、相似指標及相似判據(jù)（相似準數(shù)）三個概念來描述。
　�。�1）相似系數(shù)。在模型與原型中，任一物理變化過程的同名物理量都保持著固定的比例關(guān)系，這種現(xiàn)象稱為物理量相似；闡明這種比例關(guān)系的，叫做相似系數(shù)。在相似現(xiàn)象中，物理量相似的條件是相似系數(shù)為常數(shù)，因此，相似系數(shù)也叫相似常數(shù)。相似常數(shù)用C表示，同時右下角標明物理量類型，如幾何尺寸L、正應力σ、容重γ等，式（1.1.1）中CL即兩個相似三角形的幾何相似系數(shù)。
　　（2）相似指標。在模型與原型之間，若有關(guān)物理量的相似系數(shù)是互相制約的，則它們相互之間以某種形式保持著固有的關(guān)系，這種關(guān)系被稱為相似指標，記為Ci。
　　（3）相似判據(jù)。既然相似指標是表示相似現(xiàn)象中各相似系數(shù)之間的關(guān)系，而相似系數(shù)代表了某個物理量之間所保持的比例關(guān)系，那么相似現(xiàn)象中各物理量之間應具有的比例關(guān)系就可由相似指標導出。這種比例關(guān)系是一個定數(shù)，稱為相似判據(jù)或相似準數(shù)，通常寫成K=idem。
　　1.2相似理論
　　相似理論揭示了相似的物理現(xiàn)象之間存在的固有關(guān)系。人們可以根據(jù)該理論找出同名物理量之間的固定比數(shù)，并將該理論應用在科學試驗及工程技術(shù)實踐中。
　　本書討論的相似理論主要應用于實驗力學中的水工模型試驗。水工模型試驗的任務是將作用在原型水工建筑物上的物理現(xiàn)象，在縮尺模型上重現(xiàn)，從模型上測出與原型相似的物理現(xiàn)象和數(shù)據(jù)，如應力、位移等，再通過模型相似關(guān)系推算到原型，從而達到用模型試驗來研究原型的目的，以校核或改進設計方案�？梢�，相似理論是模型試驗的基礎，模型試驗是用來預演和測定工程中物理現(xiàn)象的手段。因此，在模型試驗研究中，應依照相似理論來進行模型設計，以及建立工程與模型之間物理量的換算關(guān)系。
　　1.2.1相似**定理――相似現(xiàn)象的性質(zhì)
　　相似**定理可表述為：“彼此相似的現(xiàn)象，以相同文字符號的方程所描述的相似指標為1，或相似判據(jù)為一不變量�！�
　　相似指標等于1或相似判據(jù)相等是現(xiàn)象相似的必要條件。相似指標和相似判據(jù)所表達的意義是一致的，互相等價，僅表達式不同。
　　相似**定理是由法國科學院院士貝特朗（J.Bertrand）于1848年確定的，其實早在1686年，牛頓（Isaac Newton）就發(fā)現(xiàn)了**相似定理確定的相似現(xiàn)象的性質(zhì)�，F(xiàn)以牛頓第二定律為例，說明相似指標和相似判據(jù)的相互關(guān)系。
　　設兩個相似現(xiàn)象，它們的質(zhì)點所受的力F的大小等于其質(zhì)量M和其受力后產(chǎn)生的加速度a的乘積，質(zhì)點所受力的方向與加速度的方向相同，則對**個現(xiàn)象有
　　F1=M1a1（1.2.1）
　　對第二個對象有
　　F2=M2a2（1.2.2）
　　因為兩現(xiàn)象相似，各物理量之間有下列關(guān)系：
　　CF=F2F1，CM=M2M1，Ca=a2a1（1.2.3）
　　式中，CF、CM、Ca均為兩相似現(xiàn)象的同名物理量之比，即相似系數(shù)。
　　將式（1.2.3）代入式（1.2.2），得
　　CFF1=CMM1Caa1
　　CFCMCaF1=M1a1（1.2.4）
　　對比式（1.2.4）和式（1.2.1）可知，必須有下列關(guān)系才能成立：
　　CFCMCa=Ci=1（1.2.5）
　　式中，Ci為相似指標（或稱相似指數(shù)），它是相似系數(shù)的特定關(guān)系式。
　　若將式（1.2.4）移項可得如下形式：
　　F1M1a1=CMCaCF=1Ci=1（1.2.6）
　　同理由式（1.2.2）可得
　　F2M2a2=1（1.2.7）
　　則
　　F1M1a1=F2M2a2=FMa=K=idem（1.2.8）
　　式中，K為各物理量之間的常數(shù)，稱為相似現(xiàn)象的“相似判據(jù)”或稱“相似不變量”，它是相似物理體系的物理量的特定組合關(guān)系式；idem表示同一個數(shù)的意思。
　　由式（1.2.8）可知，兩個相似現(xiàn)象中，它們對應的質(zhì)點上的各物理量雖然是F1≠F2，m1≠m2，a1≠a2，但它們的組合量Fma的數(shù)值保持不變，這就是“兩物理量相似其相似指標等于1”的等價條件。總之，以牛頓第二定律為例可得相似指標和相似判據(jù)的關(guān)系如下：
　　牛頓第二定律F=Ma
　　相似系數(shù)CF=F2F1，CM=M2M1，Ca=a2a1
　　相似指標CFCMCa=1
　　相似判據(jù)FMa=idem（1.2.9）
　　物理現(xiàn)象總是服從某一規(guī)律，這一規(guī)律可用相關(guān)物理量的數(shù)學方程式來表示。當現(xiàn)象相似時，各物理量的相似常數(shù)之間應該滿足相似指標等于1的關(guān)系。應用相似常數(shù)的轉(zhuǎn)換，由方程式轉(zhuǎn)換所得相似判據(jù)的數(shù)值必然相同，即無量綱的相似判據(jù)在所有相似系統(tǒng)中都是相同的。
　　1.2.2相似第二定理――相似判據(jù)的確定
　　相似第二定理，又稱為π定理，可表述為：“表示一現(xiàn)象的各物理量之間的關(guān)系方程式，都可換算成無量綱的相似判據(jù)方程式�！�
　　這樣，在彼此相似的現(xiàn)象中，其相似判據(jù)可不必用相似常數(shù)導出，只要將各物理量之間的方程式轉(zhuǎn)換成無量綱方程式的形式，其方程式的各項就是相似判據(jù)。例如，一條截面直桿，兩端受有一偏心距為L的軸向力F，則其外側(cè)面的**應力σ可表示為
　　σ=FA+FLW（1.2.10）
　　式中，A為桿的截面積；W為抗彎截面模量。
　　用σ除式（1.2.10）兩端得
　　1=FσA+FLWσ（1.2.11）
　　式（1.2.11）即為無量綱方程式，其中FσA、FLWσ就是相似判據(jù)。
　　若有兩個這種類型的相似現(xiàn)象，則它們的無量綱式分別如下：對**個現(xiàn)象
　　F1σ1A1+F1L1W1σ1=1（1.2.12a）
　　對第二個現(xiàn)象
　　F2σ2A2+F2L2W2σ2=1（1.2.12b）
　　因為兩現(xiàn)象相似，各物理量之間的相似關(guān)系式為
　　F2=CFF1，A2=CAA1，L2=CLL1，σ2=Cσσ1，W2=CWW1
　　將上述關(guān)系代入式（1.2.12b）得
　　CFCσCA？F1σ1A1+CFCLCσCW？F1L1W1σ1=1（1.2.12c）
　　對比式（1.2.12a）和式（1.2.12c）可知，要使兩現(xiàn)象相似，則必須滿足下列條件：
　　C1=CFCσCA=1
　　C2=CFCLCσCW=1（1.2.12d）
　　根據(jù)相似的**定律可知，C1、C2都是彼此相似現(xiàn)象的相似指標，將各物理量及相似關(guān)系各代入式（1.2.12d）得
　　F2F1÷σ2σ1？A2A1=1（1.2.13）
　　即
　　F2σ2A2=F1σ1A1=FσA=K1=idem（1.2.14）
　　又
　　F2L2F1L1÷σ2W2σ1W1=1（1.2.15）
　　即
　　F2L2σ2W2=F1L1σ1W1=FLσW=K2=idem（1.2.16）
　　由上式可看出，無量綱方程中的各項就是相似判據(jù)。
　　如果用偏微分方程描述現(xiàn)象，則相似第二定理可將偏微分方程無量綱化，從而將有量綱的偏微分方程變換為無量綱的常微分方程，使之易于求解，這種方法被廣泛用于數(shù)學方程式的理論分析中。常用π定理將各物理量之間的方程式轉(zhuǎn)換成無量綱方程式的形式，之后將在1.3節(jié)詳細介紹其應用。
　　1.2.3相似第三定理――相似現(xiàn)象的必要和充分條件
　　相似**定理闡述了相似現(xiàn)象的性質(zhì)及各物理量之間存在的相似關(guān)系，相似第二定理證明了描述物理過程的方程經(jīng)過轉(zhuǎn)換后可由無量綱數(shù)群的關(guān)系式表示，相似現(xiàn)象的方程形式應相同，其無量綱數(shù)也應相同。**、第二定理是在把物理相似作為已知條件的基礎上，說明相似現(xiàn)象的性質(zhì)，故稱為相似正定理，是物理相似的必要條件。但如何判別兩現(xiàn)象是否相似呢？1930年蘇聯(lián)科學家M.B.基爾皮契夫和A.A.古赫曼提出的相似第三定理補充了前面兩個定理，是相似理論的逆定理。提出了判別物理相似的充分條件：“在幾何相似系統(tǒng)中，具有相同文字符號的關(guān)系方程式，單值條件相似，且由單值條件組成的相似準數(shù)相等，則兩物理現(xiàn)象是相似的�！焙唵蔚卣f，現(xiàn)象的單值量相似，則兩物理現(xiàn)象相似。
　　單值條件是指從一群現(xiàn)象中把某一具體現(xiàn)象從中區(qū)分處理的條件，單值條件相似應包括：幾何相似、物理相似、邊界條件相似、力學相似、初始條件相似。所謂單值量，是指單值條件中所包含的各物理量，如力學現(xiàn)象中的尺寸、彈性模量、面積力、體積力等。因此，各單值量相似，當然包括各單值量的單值條件也就相似，則兩現(xiàn)象自然相似。
　　綜上所述，用以判斷相似現(xiàn)象的是相似判據(jù)，它描述了相似現(xiàn)象的一般規(guī)律。所以，在進行模型試驗之前，應先求得被研究對象的相似判據(jù)，然后按照相似判據(jù)確定的相似關(guān)系開展模型設計、試驗測試和數(shù)據(jù)整理等工作。
　　1.2.4相似條件
　　不同的物理體系有著不同的變化過程，物理過程可用一定的物理量來描述。物理體系的相似是指在兩個幾何相似的物理體系中，進行著同一物理性質(zhì)的變化過程，并且各體系中對應點上的同名物理量之間存在固定的相似常數(shù)。
　　兩個相似的物理體系之間一般存在以下5個方面的相似條件：幾何相似、物理相似、力學相似、邊界條件相似及初始條件相似。
　　1.幾何相似
　　幾何相似是指原型和模型的外形相似，對應邊邊長成比例、對應角角度相等，如圖1.2.1重力壩原型和模型剖面圖所示。
　　（a）原型剖面圖
　�。╞）模型剖面圖
　　圖1.2.1重力壩原型和模型剖面圖
　　兩個重力壩剖面相似，則有
　　HpHm=BpBm=hphm=CL，θpθm=Cθ（1.2.17）
　　兩個幾何相似的體系就是同一幾何體系通過不同的比例放大或縮小而得，常見的相似常數(shù)有
　　CL=LpLm
　　Cθ=θpθm（1.2.18）
　　式中，Lp、Lm分別為原型、模型中某一線段的長度；θp、θm分別為原型、模型中兩條邊的夾角；CL、Cθ分別為幾何相似常數(shù)和幾何比尺；下標p表示原型，m表示模型（