Table des matieres
前言iii
Preface et remerciements v
Chapitre l Barycentres 1
1.1 Dcfinition ct cxcrnplcs 1
1.2 Proprietes du barycentre 3
1.2.1 Homogeneite 3
1.2.2 Associat.ivite 4
1.3 Reduction des sommes vectorielles 5
1.3.1 Theoreme de reduction des sonunes vectorielles 5
1.3.2 Caracterisation d'un segment, d'une droite 6
1.3.3 Caractcrisation d'un trianglc, d'un plan 8
Chapitre 2 Geometrie elementaire dans le plan 12
2.1 Modcs dc rcpcragc dans lc plan 13
2.1.1 Repere cartesien 13
2.1.1.a Definition et regles de calciil 13
2.1.1.b Changement, de coordonnees 15
2.1.2 Rcpcrc polairc 17
2.1.2.a Definition et premieres proprietes 17
2.1.2.b Lien entre les coordonnees polaires et les coordonnees cartesiennes 19
2.2 Produit scalaire dans le plan 20
2.2.1 Definition 20
2.2.2 Intcrprctation cn tcrmc dc projcction 20
2.2.3 Proprietes du produit scalaire 22
2.2.4 Identites remarquables et theoreme de Pythagore 27
2.3 Dct.crminant, dc dcux vcctcurs 27
2.3.1 Definition 27
2.3.2 Proprietes 28
2.3.3 Expression en base orthonormee directe_ 29
2.3.4 Interpretation geometrique 31
2.4 Droites et cercles du plan 31
2.4.1 Equations cart.esienne et paramet.rique d'une droite 31
2.4.2 Equation polairc d'unc droitc 34
2.4.3 Lignes de niveau de l'application M→ U AM 36
2.4.4 Lignes de niveau de l'application M→Det(U,AM) 37
2.4.5 Distance d'un point a une droite 38
2.4.6 Relations metriques dans le triangle 39
2.4.7 Equation de cercles 41
2.4.8 Intersection d'un cercle et, d'une droite ou de deux cercles 43
2.4.9 Lignes de niveaux de certaines applicat.ions remarquables 46
Chapitre 3 Geometrie elementaire dans l'espace48
3.1 Modes de reperage dans l'espace 49
3.1.1 Rcpcrc cartcsicn 49
3.1.2 Coordonnees cylindriques 51
3.1.3 Coordonnees spheriques 51
3.2 Produit scalaire dans l'espace 52
3.3 Produit vect.oriel 54
3.3.1 Definitionet interpretat.ion geometrique .
3.3.2 Intcrprctation gcomctriquc 54
3.3.3 Proprietes du produit vectoriel 55
3.3.4 Expression dans un repere orthonormal direct, 56
3.4 Produit mixte (ou det.erminant) 59
3.4.1 Definition et interpretation geometrique 59
3.4.2 Proprietes du produit mixte 60
3.5 Plans dans l'cspacc 63
3.5.1 Rappels 63
3.5.2 Equations parametriques d'un plan 63
3.5.3 Equation cartesienne d'un plan 64
3.5.4 Distance d'un point a un plan 66
3.6 Droites de l'espace 67
3.6.1 Equations paramctriqucs d'unc droitc 67
3.6.2 Equations cart.esienne.s d'une droite 68
3.6.3 Distance d'un point a une droite 69
3.6.4 Perpendiculaire commune 70
3.7 Spheres 73
3.7.1 Dcfinition I iation cartcsicnnc 73
Chapitre 4 0utils vectoriels dans IR2 et R3 75
4.1 0perations sur les vecteurs 76
4.1.1 0pcrations dans R2 ct R2 76
4.1.2 Cas du plan ve.ctoriel 77
4.1.3 Repere polaire 79
4.1.3.a Definition et premieres proprietes 79
41.3.b Lien entre les coordonnees polaires et les coordonnees cartesi- enne.s 81
4.1.4 Cas de l'espace 81
4.2 Produit scalaire, int.erpretation geometrique 83
4.2.1 Produit scalaire dans le plan 83
4.2.1.a Definition 83
4.2.1.b Int.erpretation geometrique 85
4.2.1.c Identites rernarquables et theoreme de Pythagore 87
4.2.1.d Int.erpretation en terme de projection 88
4.2.2 Produit scalairc dans l'cspacc 88
4.3 Dctcrminant, dans lc plan 89
4.3.1 Dcfinition 90
4.3.2 Proprictcs 90
4.3.3 Intcrprctation gcomctriquc 90
4.3.4 Intcrprctation gcomctriquc 91
4.4 Produit vcctoricl 92
4.4.1 Dcfinition dans unc basc orthornorm6c dircctc 92
4.4.2 Exprcssion vcctoricllc 93
4.4.3 Intcrprctation gcomctriquc 94
4.5 Dct.crminant dans l'cspacc 95
4.5.1 Dcfinition 95
4.5.2 Intcrprctation gcomctriquc 96
Chapitre 5 Courbes parametrees et courbes polaires 99
5.1 Fonctions a valeurs dans R2 100
5.1.1 Limit.e et continuite d'une fonct.ion a valeurs vectorielles 100
5.1.2 Derivation 103
5.2 Courbes parametrees 106
5.2.1 Definition 106
5.2.2 Etude locale 106
5.2.3 Interpret.ation cinematique 108
5.2.4 Branches infinies 108
5.2.5 Trace d'une courbe parametree 112
5.3 Introduction aux developpements limites et etude des points stationnaires 113
5.3.1 Definition et formule de Taylor Young 113
5.3.2 Developpements limites des fonctions usuelles 115
5.3.3 Tangente a la courbe en un point st.ationnaire 117
5.3.4 Classificat.ion des points stationnaires 118
5.4 Courbes en coordonnees polaires 119
5.4.1 Definition 119
5.4.2 Vitesse et acceleration 119
5.4.3 Etude locale en un point, regulier 121
5.4.3.a Etude en un point regulier 121
5.4.3.b Etude al'origine 122
5.4.4 Branches infinies 123
5.4.5 Exemple de trace d'une courbe polaire 125
5.5 Cas des coniques 127
5.5.1 Equation en coordonnees polaires avec foye.r a l'origine 128
5.5.2 Etude des paraboles 129
5.5.3 Etude des ellipses 132
5.5.4 Etude des hyperboles 135
5.6 Quelques exemples d'etude de courbes 139
5.6.1 Uii cxcmplc simplc 139
5.6.2 Courbc dc Lissajous 141
5.6.3 Une courbe classique : la cardioide 147
5.6.4 Une condition d'alignement 153
5.6.5 Recherche de point double 156
5.6.6 Une courbe en polaire plus complexe 161
5.6.7 Nature d'un point stat.ionnaire 168
Chapitre 6 Probabilites sur un univers fini 172
6.1 Vocabulaire des probabilites 173
6.2 Definition et proprietes d'une probabilite 175
6.2.1 Dcfinition ct cxcmplcs 175
6.2.2 Proprietes d'une probabilite 177
6.2.3 Cas particulier de l'equiprobabilit.e 179
6.3 Variables aleatoires 181
6.3.1 Definition 181
6.3.2 Loi de probabilite d'une variable aleatoire 182
6.3.3 Espcrancc rnathcmatiquc 186
6.3.4 Variance et ecart-type 189
6.4 Conditionnement et, independance 191
6.4.1 Conditionnement par un evenement de probabilite non nulle 192
6.4.2 Formule des probabilites totales 195
6.4.3 Independance 197
6.5 Combinatoire 203
6.5.1 Dcnombrcmcnt basiquc 203
6.5.2 Combinaisons et coefficients binomiaux 205
6.5.3 Proprietes des coefficients binomiaux 207
6.6 Lois de probabilites finies usuelles 212
6.6.1 Loi de Bernoulli 212
6.6.2 Loi binomiale 214
6.6.3 Loi hypcrgcomctriquc 219
6.7 Loi faible des grands nombres 222
6.7.1 Inegalite de Bienayme-Tchebychev 222
6.7.2 Loi faible des grands nombres 222
Chapitre 7 Elements de logique 224
7.1 Connecteurs logiques 224
7.1.1 Propriete (ou enonce) 224
7.1.2 Connecteurs simples 225
7.2 Implications et equivalences 227
7.3 Quantificateurs 231
7.3.1 Notion de predicat 231
7.3.2 Quantificateurs 232
7.4 Raisonncmcnts mathcmatiqucs 234
7.4.1 Raisonnement par l'absurde 234
7.4.2 Raisonnement, par analyse-synthese 234
7.4.3 Raisonnement par recurrence 236
Chapitre 8 Ensembles et applications 238
8.1 Ensembles 239
8.1.1 Appartenance, inclusion 239
8.1.2 0pcrations sur lcs cnscmblcs 243
8.1.2.a Operations "usuelles" 243
8.1.2.b Proprietes des operations "usuelles" 244
8.1.2.c Produit, cartcsicn dc dcux cnscmblcs 247
8.2 Applications 249
8.2.1 Definitions et premieres proprietes 249
8.2.2 Applicat.ions particulieres remarquables 251
8.2.3 Restrict.ion et, prolongement 251
8.2.4 Image directe et image reciproque d'une partie 252
8.2.5 Ensemble des applications de A vers B et famille d'elements 253
8.2.6 Composition d'applications 254
8.2.7 Injcction, surjcction ct bijcction 255