本書是根據(jù)教育部《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020年)》精神要求,緊緊圍繞著培養(yǎng)高素質(zhì)技能應(yīng)用人才的目標(biāo),組織長(zhǎng)期在一線教學(xué)的數(shù)學(xué)專家及教師,根據(jù)專業(yè)的需求編寫而成。
本書共分7章,內(nèi)容分別為函數(shù)、極限與連續(xù),一元函數(shù)微分學(xué)及其運(yùn)用,一元函數(shù)積分學(xué)及其運(yùn)用,無(wú)窮級(jí)數(shù),常微分方程,多元函數(shù)微分學(xué),多元函數(shù)積分學(xué)。本書結(jié)構(gòu)合理,詳略恰當(dāng),配有較豐富的例題及習(xí)題,基本教學(xué)學(xué)時(shí)約為140學(xué)時(shí)。本書可作為高職高專院校工科類的機(jī)械、數(shù)控、汽車、電子等專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教材,也可供有關(guān)學(xué)生自學(xué)參考使用。
高等數(shù)學(xué)是理工科院校一門重要的公共基礎(chǔ)課程,尤其是進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái),國(guó)家對(duì)高職教育的發(fā)展提出了更新的要求。為了適應(yīng)高職院校人才培養(yǎng)的新要求,充分發(fā)揮高等數(shù)學(xué)課程在人才培養(yǎng)中的重要作用,針對(duì)高職學(xué)生的文化基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)特點(diǎn),本著突出應(yīng)用的原則,結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)編寫了本教材。
本教材具有以下特點(diǎn):
(1)遵循“以教會(huì)、學(xué)會(huì)為目的,以必需、夠用為準(zhǔn)繩”的編寫原則。
(2)關(guān)注高職學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),適度淡化邏輯論證,語(yǔ)言淺顯易懂,同時(shí)又兼顧數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性。
(3)突出強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系。
(4)注重基本概念和基本方法的教學(xué),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
本書的出版得到很多老師和出版工作人員的幫助,在此一并感謝。
編者
2016年1月
第1章 函數(shù) 極限 連續(xù)……………………………………………………………………… 1
1.1 基本初等函數(shù)與初等函數(shù)……………………………………………………………… 1
1.1.1 函數(shù)的概念………………………………………………………………………… 1
1.1.2 函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)…………………………………………………………………… 3
1.1.3 基本初等函數(shù)……………………………………………………………………… 3
1.1.4 復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)………………………………………………………………… 5
習(xí)題1.1………………………………………………………………………………………… 6
1.2 函數(shù)的極限……………………………………………………………………………… 7
1.2.1 極限的概念………………………………………………………………………… 7
1.2.2 極限的四則運(yùn)算…………………………………………………………………… 12
1.2.3 無(wú)窮小與無(wú)窮大…………………………………………………………………… 13
1.2.4 兩個(gè)重要極限……………………………………………………………………… 16
習(xí)題1.2 ……………………………………………………………………………………… 18
1.3 初等函數(shù)的連續(xù)性……………………………………………………………………… 19
1.3.1 函數(shù)連續(xù)性的定義………………………………………………………………… 19
1.3.2 初等函數(shù)的連續(xù)性………………………………………………………………… 21
1.3.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)………………………………………………………… 22
習(xí)題1.3 ……………………………………………………………………………………… 23
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 23
復(fù)習(xí)題1 ……………………………………………………………………………………… 25
第2章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用…………………………………………………………… 27
2.1 導(dǎo)數(shù)的概念……………………………………………………………………………… 27
2.1.1 導(dǎo)數(shù)的定義………………………………………………………………………… 27
2.1.2 左、右導(dǎo)數(shù)………………………………………………………………………… 31
2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義…………………………………………………………………… 32
2.1.4 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系………………………………………………………………… 33
習(xí)題2.1 ……………………………………………………………………………………… 33
2.2 求導(dǎo)法則………………………………………………………………………………… 34
2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則………………………………………………… 34
2.2.2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則……………………………………………………………… 35
2.2.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則………………………………………………………………… 38
2.2.4 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式………………………………………………………… 40??????
2.2.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)……………………………………………………………………… 40
2.2.6 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法………………………………………………………………………… 41
2.2.7 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法………………………………………………… 41
2.2.8 高階導(dǎo)數(shù)…………………………………………………………………………… 42
習(xí)題2.2 ……………………………………………………………………………………… 44
2.3 微 分…………………………………………………………………………………… 45
2.3.1 微分的定義………………………………………………………………………… 45
2.3.2 微分的幾何意義…………………………………………………………………… 46
2.3.3 微分的運(yùn)算法則…………………………………………………………………… 47
2.3.4 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用………………………………………………………… 48
習(xí)題2.3 ……………………………………………………………………………………… 50
2.4 中值定理與洛必達(dá)法則………………………………………………………………… 50
2.4.1 中值定理…………………………………………………………………………… 50
2.4.2 未定式的定值法———洛必達(dá)法則………………………………………………… 52
習(xí)題2.4 ……………………………………………………………………………………… 56
2.5 函數(shù)的單調(diào)性與極值…………………………………………………………………… 56
2.5.1 函數(shù)的單調(diào)性……………………………………………………………………… 56
2.5.2 函數(shù)的極值………………………………………………………………………… 57
2.5.3 函數(shù)的最值與極值的應(yīng)用………………………………………………………… 60
習(xí)題2.5 ……………………………………………………………………………………… 61
2.6 曲線的凹向與拐點(diǎn)……………………………………………………………………… 62
2.7 函數(shù)圖形的描繪………………………………………………………………………… 63
2.7.1 曲線的漸近線……………………………………………………………………… 63
2.7.2 函數(shù)圖形的做法…………………………………………………………………… 65
習(xí)題2.7 ……………………………………………………………………………………… 67
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 67
復(fù)習(xí)題2 ……………………………………………………………………………………… 68
第3章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用…………………………………………………………… 74
3.1 定積分的基本概念……………………………………………………………………… 74
3.1.1 定積分概念的引入………………………………………………………………… 74
3.1.2 定積分的定義……………………………………………………………………… 76
3.1.3 定積分的幾何意義………………………………………………………………… 76
習(xí)題3.1 ……………………………………………………………………………………… 77
3.2 定積分的性質(zhì)…………………………………………………………………………… 77
3.2.1 有關(guān)積分限的性質(zhì)………………………………………………………………… 77
3.2.2 定積分的線性性質(zhì)………………………………………………………………… 78
3.2.3 定積分的比較……………………………………………………………………… 78
3.2.4 定積分估值定理…………………………………………………………………… 78
3.2.5 定積分中值定理…………………………………………………………………… 78
3.2.6 積分均值…………………………………………………………………………… 79
習(xí)題3.2 ……………………………………………………………………………………… 79
3.3 微積分基本定理與原函數(shù)……………………………………………………………… 79
習(xí)題3.3 ……………………………………………………………………………………… 80
3.4 不定積分的概念與性質(zhì)………………………………………………………………… 81
3.4.1 不定積分的概念…………………………………………………………………… 81
3.4.2 不定積分的性質(zhì)…………………………………………………………………… 81
3.4.3 基本積分公式表…………………………………………………………………… 82
習(xí)題3.4 ……………………………………………………………………………………… 83
3.5 常用積分方法…………………………………………………………………………… 84
3.5.1 換元積分法(Ⅰ)…………………………………………………………………… 84
3.5.2 換元積分法(Ⅱ)…………………………………………………………………… 86
3.5.3 分部積分法………………………………………………………………………… 89
3.5.4 簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分……………………………………………………………… 91
習(xí)題3.5 ……………………………………………………………………………………… 93
3.6 廣義積分………………………………………………………………………………… 94
3.6.1 函數(shù)在無(wú)限區(qū)間上的積分………………………………………………………… 94
3.6.2 無(wú)界函數(shù)的積分…………………………………………………………………… 95
習(xí)題3.6 ……………………………………………………………………………………… 96
3.7 定積分的應(yīng)用…………………………………………………………………………… 96
3.7.1 直角坐標(biāo)系下的面積公式………………………………………………………… 97
3.7.2 極坐標(biāo)系下的面積公式…………………………………………………………… 98
3.7.3 已知平行截面面積的立體體積…………………………………………………… 99
3.7.4 旋轉(zhuǎn)體的體積…………………………………………………………………… 100
3.7.5 平面曲線的弧長(zhǎng)………………………………………………………………… 101
習(xí)題3.7……………………………………………………………………………………… 102
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 102
復(fù)習(xí)題3……………………………………………………………………………………… 105
第4章 無(wú)窮級(jí)數(shù)……………………………………………………………………………… 107
4.1 級(jí)數(shù)的基本概念……………………………………………………………………… 107
4.1.1 級(jí)數(shù)的概念……………………………………………………………………… 107
4.1.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)……………………………………………………………… 109
習(xí)題4.1……………………………………………………………………………………… 111
4.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法………………………………………………………………… 112
4.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法……………………………………………………………… 112
4.2.2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法……………………………………………………………… 114
4.2.3 絕對(duì)收斂與條件收斂…………………………………………………………… 115
習(xí)題4.2……………………………………………………………………………………… 116
4.3 冪級(jí)數(shù)………………………………………………………………………………… 117
4.3.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)……………………………………………………………………… 117
4.3.2 冪級(jí)數(shù)的定義…………………………………………………………………… 118
4.3.3 冪級(jí)數(shù)的收斂性………………………………………………………………… 118
4.3.4 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算…………………………………………………………………… 121
習(xí)題4.3……………………………………………………………………………………… 123
4.4 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式………………………………………………………………… 123
4.4.1 泰勒級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù)………………………………………………………… 124
4.4.2 函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的直接方法………………………………………………… 124
4.4.3 函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的間接方法………………………………………………… 126
4.4.4 冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用…………………………………………………………………… 128
習(xí)題4.4……………………………………………………………………………………… 131
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 131
復(fù)習(xí)題4……………………………………………………………………………………… 132
第5章 常微分方程…………………………………………………………………………… 134
5.1 微分方程的基本概念………………………………………………………………… 134
習(xí)題5.1……………………………………………………………………………………… 137
5.2 可分離變量的微分方程……………………………………………………………… 137
5.2.1 可分離變量的微分方程………………………………………………………… 137
5.2.2 齊次方程………………………………………………………………………… 139
習(xí)題5.2……………………………………………………………………………………… 141
5.3 一階線性微分方程…………………………………………………………………… 141
5.3.1 一階線性齊次微分方程的解法………………………………………………… 142
5.3.2 一階線性非齊次微分方程的解法……………………………………………… 142
習(xí)題5.3……………………………………………………………………………………… 145
5.4 可降階的二階微分方程……………………………………………………………… 145
5.4.1 y″=f(x)型……………………………………………………………………… 146
5.4.2 y″=f(x,y')型…………………………………………………………………… 146
5.4.3 y″=f(y,y')型…………………………………………………………………… 146
習(xí)題5.4……………………………………………………………………………………… 147
5.5 二階線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)…………………………………………………… 148
習(xí)題5.5……………………………………………………………………………………… 150
5.6 二階常系數(shù)線性齊次微分方程……………………………………………………… 150
習(xí)題5.6……………………………………………………………………………………… 153
5.7 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程…………………………………………………… 153
5.7.1 f(x)=pm (x)eλx 型(其中λ 是常數(shù),pm (x)是x 的一個(gè)m 次多項(xiàng)式) ……… 153
5.7.2 f(x)=eαx (acosωx+bsinωx)(其中a,b,ω 均為常數(shù)) ……………………… 156
習(xí)題5.7……………………………………………………………………………………… 157
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 158
復(fù)習(xí)題5……………………………………………………………………………………… 160
第6章 多元函數(shù)微分學(xué)……………………………………………………………………… 162
6.1 空間解析幾何及向量代數(shù)…………………………………………………………… 162
6.1.1 空間解析幾何簡(jiǎn)介……………………………………………………………… 162
6.1.2 向量及其線性運(yùn)算……………………………………………………………… 163
6.1.3 向量的坐標(biāo)……………………………………………………………………… 165
6.1.4 向量的數(shù)量積與向量積………………………………………………………… 167
6.1.5 平面及其方程…………………………………………………………………… 171
6.1.6 空間直線及其方程……………………………………………………………… 175
6.1.7 空間曲面與方程………………………………………………………………… 177
6.1.8 平面上的區(qū)域…………………………………………………………………… 182
習(xí)題6.1……………………………………………………………………………………… 183
6.2 多元函數(shù)的基本概念………………………………………………………………… 186
6.2.1 多元函數(shù)的概念………………………………………………………………… 186
6.2.2 二元函數(shù)的極限………………………………………………………………… 187
6.2.3 二元函數(shù)的連續(xù)性……………………………………………………………… 188
習(xí)題6.2……………………………………………………………………………………… 189
6.3 偏導(dǎo)數(shù)………………………………………………………………………………… 190
6.3.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計(jì)算………………………………………………………… 190
6.3.2 高階偏導(dǎo)數(shù)……………………………………………………………………… 192
習(xí)題6.3……………………………………………………………………………………… 193
6.4 全微分及其應(yīng)用……………………………………………………………………… 193
6.4.1 全微分的概念…………………………………………………………………… 193
6.4.2 全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系………………………………………………………… 194
習(xí)題6.4……………………………………………………………………………………… 195
6.5 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則…………………………………………………………… 195
6.5.1 復(fù)合函數(shù)微分法………………………………………………………………… 195
6.5.2 隱函數(shù)的微分法………………………………………………………………… 199
習(xí)題6.5……………………………………………………………………………………… 199
6.6 二元函數(shù)的極值與最值……………………………………………………………… 200
6.6.1 二元函數(shù)的極值………………………………………………………………… 200
6.6.2 二元函數(shù)的最值………………………………………………………………… 201
6.6.3 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法…………………………………………………… 202
習(xí)題6.6……………………………………………………………………………………… 205
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 205
復(fù)習(xí)題6……………………………………………………………………………………… 207
第7章 多元函數(shù)積分學(xué)……………………………………………………………………… 210
7.1 二重積分的概念與性質(zhì)……………………………………………………………… 210
7.1.1 二重積分的概念………………………………………………………………… 210
7.1.2 二重積分的定義………………………………………………………………… 211
7.1.3 二重積分的性質(zhì)………………………………………………………………… 212
習(xí)題7.1……………………………………………………………………………………… 213
7.2 二重積分的計(jì)算……………………………………………………………………… 213
7.2.1 在直角坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分………………………………………………… 213
7.2.2 在極坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分…………………………………………………… 217
習(xí)題7.2……………………………………………………………………………………… 219
7.3 二重積分的應(yīng)用舉例………………………………………………………………… 219
7.3.1 平面圖形的面積………………………………………………………………… 220
7.3.2 立體圖形的體積………………………………………………………………… 220
7.3.3 平面薄片質(zhì)量…………………………………………………………………… 221
習(xí)題7.3……………………………………………………………………………………… 221
本章小結(jié)……………………………………………………………………………………… 222
黃杰 （2018/9/19 7:54:00）：有沒有這個(gè)的教師用書或者是答案解析
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