目錄
第一篇高等數(shù)學的核心：微積分——以極限研究函數(shù)的學科
第1章函數(shù)——微積分研究的對象3
1.1函數(shù)的發(fā)展及微積分的常用符號3
1.1.1函數(shù)的演變3
1.1.2數(shù)集的拓廣、鄰域及常用的邏輯符號5
1.2函數(shù)7
1.2.1函數(shù)的概念7
1.2.2函數(shù)的表示法9
1.2.3四類特殊函數(shù)11
1.2.4函數(shù)的運算13
1.2.5初等函數(shù)15
習題1 19
第2章極限—微積分的基礎工具23
2.1數(shù)列極限23
2.1.1極限的思想23
2.1.2數(shù)列極限的“ε-N語言”—極限的定量描述24
2.1.3收斂數(shù)列的性質(zhì)26
2.1.4數(shù)列極限的四則運算27
2.1.5數(shù)列收斂的判別法28
2.2函數(shù)極限31
2.2.1的情形31
2.2.2與的情形33
2.2.3x→∞的情形34
2.2.4函數(shù)極限的性質(zhì)35
2.2.5函數(shù)極限的四則運算法則及復合運算法則35
2.2.6函數(shù)極限存在的判別及兩個重要的極限37
2.2.7無窮小量與無窮大量38
2.3函數(shù)的連續(xù)性——極限的應用特例40
2.3.1連續(xù)的概念40
2.3.2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)43
習題2 45
第3章導數(shù)與微分—變量的變化速度與局部改變量的估值48
3.1導數(shù)——變量的變化速度48
3.1.1抽象導數(shù)的兩個現(xiàn)實原型48
3.1.2導數(shù)的概念50
3.1.3函數(shù)的連續(xù)與可導的關(guān)系51
3.2求導數(shù)的運算法則與基本公式52
3.2.1用定義求幾個基本初等函數(shù)的導數(shù)52
3.2.2求導數(shù)的運算法則53
3.2.3基本初等函數(shù)的求導公式57
3.2.4高階導數(shù)60
3.3微分——局部改變量的估值61
3.3.1微分的概念61
3.3.2微分公式與法則63
3.3.3微分在近似計算中的簡單應用64
習題3 65
第4章微分中值定理和微分學的應用67
4.1微分中值定理——聯(lián)結(jié)局部與整體的橋梁67
4.1.1費馬定理67
4.1.2中值定理68
4.2洛必達法則——計算未定式極限的有效方法69
4.2.1及型未定式70
4.2.2其他類型的未定式71
4.3函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值——利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)72
4.3.1單調(diào)性72
4.3.2函數(shù)的極值74
4.3.3函數(shù)的最值76
習題4 77
第5章不定積分——微分的逆運算80
5.1原函數(shù)與不定積分80
5.1.1原函數(shù)的概念80
5.1.2不定積分的概念81
5.1.3不定積分的基本公式及線性運算法則83
5.2換元積分法與分部積分法84
5.2.1第一換元積分法(湊微分法)84
5.2.2第二換元積分法86
5.2.3分部積分法88
習題5 90
第6章定積分——無限小量的累加和92
6.1定積分的概念92
6.1.1抽象定積分概念的兩個現(xiàn)實原型92
6.1.2定積分的概念94
6.1.3可積的條件95
6.1.4定積分的性質(zhì)95
6.2微積分基本定理及定積分的計算97
6.2.1微積分基本定理98
6.2.2微積分基本公式及定積分的計算99
6.3定積分的應用100
6.3.1微元法100
6.3.2定積分應用實例101
6.4廣義積分——定積分的拓廣103
習題6 104
第二篇高等數(shù)學的分支介紹
第7章常微分方程——微積分的直接應用109
7.1常微分方程的基本概念109
7.1.1例子109
7.1.2基本概念110
7.2一階常微分方程及初等積分法111
7.2.1可分離變量的常微分方程112
7.2.2兩類可化為可分離變量的微分方程114
7.2.3一階線性常微分方程116
習題7 119
第8章概率論與數(shù)理統(tǒng)計初步——隨機數(shù)學的方法及應用121
8.1研究隨機現(xiàn)象的基本概念121
8.1.1基本概念121
8.1.2事件的關(guān)系與運算123
8.2概率126
8.2.1概率的各種定義126
8.2.2條件概率和事件的獨立性131
8.2.3全概率公式和貝葉斯公式133
8.2.4伯努利試驗135
8.3隨機變量、數(shù)學期望與方差——隨機現(xiàn)象的數(shù)學化137
8.3.1隨機變量的概念137
8.3.2隨機變量的類型138
8.3.3數(shù)學期望與方差142
8.4數(shù)理統(tǒng)計——收集和分析數(shù)據(jù)的方法144
8.4.1數(shù)據(jù)的收集——統(tǒng)計的起點144
8.4.2統(tǒng)計推斷——由部分到整體的判斷145
習題8 147
第9章線性代數(shù)——抽象符號背后的實質(zhì)150
9.1行列式150
9.1.1行列式的概念150
9.1.2行列式的性質(zhì)155
9.1.3克拉默法則157
9.2高斯消元法159
9.3矩陣及其運算161
9.3.1矩陣的概念161
9.3.2矩陣的運算164
9.4矩陣的應用173
9.4.1應用矩陣解線性方程組174
9.4.2線性變換178
9.4.3解矩陣方程180
習題9182
第10章多元函數(shù)微積分——一元函數(shù)微積分的推廣186
10.1空間解析幾何——數(shù)形結(jié)合的直觀表達186
10.1.1空間直角坐標系186
10.1.2空間中兩點間的距離187
10.1.3空間曲面及空間曲線的方程188
10.1.4常見的二次曲面及其方程190
10.2多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)——多元函數(shù)微積分的基礎193
10.2.1多元函數(shù)的概念193
10.2.2二元函數(shù)的極限195
10.2.3二元函數(shù)的連續(xù)性197
10.3偏導數(shù)與全微分198
10.3.1一階偏導數(shù)198
10.3.2高階偏導數(shù)200
10.3.3全微分201
10.3.4全微分在近似計算中的簡單應用202
10.4多元函數(shù)的極值和最值——多元函數(shù)微分學的應用203
10.4.1二元函數(shù)的極值203
10.4.2二元函數(shù)的最值205
10.4.3條件極值205
10.5二重積分的概念與計算206
10.5.1二重積分的概念206
10.5.2二重積分的性質(zhì)209
10.5.3二重積分的計算209
10.5.4二重積分的應用212
習題10213
第11章數(shù)學模型——量化問題的首要工具215
11.1數(shù)學模型和數(shù)學建模215
11.1.1數(shù)學模型215
11.1.2數(shù)學建模216
11.2哥尼斯堡七橋問題——建模示例之一218
11.3人口模型——建模示例之二219
11.3.1Malthus模型(人口指數(shù)增長模型)220
11.3.2Logistic模型(人口阻滯增長模型)221
11.4報童模型問題——建模示例之三223
11.5公平的席位分配問題——建模示例之四226
習題11229
部分習題參考答案與提示231
參考書目241