第Ⅰ部分 建模、計算機與誤差分析
第1章 數(shù)學(xué)建模、數(shù)值方法與問題
求解 3
提出問題 3
1.1 一個簡單的數(shù)學(xué)模型 4
1.2 工程與科學(xué)中的守恒律 10
1.3 本書中涉及的數(shù)值方法 13
1.4 案例研究 15
1.5 習(xí)題 17
第2章 MATLAB基礎(chǔ) 29
提出問題 29
2.1 MATLAB環(huán)境 30
2.2 賦值 31
2.2.1 標量 31
2.2.2 數(shù)組、向量和矩陣 33
2.2.3 冒號操作符 35
2.2.4 linspace和logspace函數(shù) 36
2.2.5 字符串 36
2.3 數(shù)學(xué)運算 38
2.4 使用內(nèi)置函數(shù) 42
2.5 繪圖 45
2.6 其他資源 49
2.7 案例研究：探索性數(shù)據(jù)
分析 49
2.8 習(xí)題 51
第3章 編寫MATLAB程序 59
提出問題 59
3.1 M文件 60
3.1.1 腳本文件 60
3.1.2 函數(shù)文件 61
3.1.3 變量的作用域 63
3.1.4 全局變量 64
3.1.5 子函數(shù) 66
3.2 輸入/輸出 67
3.3 結(jié)構(gòu)化編程 71
3.3.1 決策 71
3.3.2 循環(huán) 79
3.3.3 動畫 83
3.4 嵌套與縮進 85
3.5 將函數(shù)傳入M文件 88
3.5.1 匿名函數(shù) 88
3.5.2 函數(shù)函數(shù) 89
3.5.3 傳遞參數(shù) 92
3.6 案例研究：蹦極運動員的速度 93
3.7 習(xí)題 97
第4章 舍入與截斷誤差 111
提出問題 111
4.1 誤差 112
4.1.1 準確度與精度 112
4.1.2 誤差定義 113
4.1.3 迭代計算的計算機算法 116
4.2 舍入誤差 118
4.2.1 計算機中數(shù)的表示 118
4.2.2 計算機中數(shù)的算術(shù)運算 123
4.3 截斷誤差 125
4.3.1 泰勒級數(shù) 125
4.3.2 泰勒級數(shù)展開的余項 129
4.3.3 用泰勒級數(shù)估計截斷誤差 131
4.3.4 數(shù)值差分 132
4.4 總數(shù)值誤差 136
4.4.1 數(shù)值微分的誤差分析 137
4.4.2 數(shù)值誤差的控制 139
4.5 粗差、模型誤差和數(shù)據(jù)不確定性 140
4.5.1 粗差 140
4.5.2 模型誤差 141
4.5.3 數(shù)據(jù)不確定性 141
4.6 習(xí)題 141
第Ⅱ部分 求根與最優(yōu)化
第5章 求根：劃界法 149
提出問題 149
5.1 工程和科學(xué)領(lǐng)域中的求根問題 150
5.2 圖形法 151
5.3 劃界法與初始猜測值 153
5.4 二分法 157
5.5 試位法 163
5.6 案例研究：溫室氣體與雨水 166
5.7 習(xí)題 169
第6章 方程求根：開方法 177
6.1 簡單不動點迭代 178
6.2 牛頓-拉弗森方法 182
6.3 割線法 187
6.4 布倫特法 189
6.4.1 逆二次插值 189
6.4.2 布倫特法算法 191
6.5 MATLAB函數(shù)：fzero 193
6.6 多項式 195
6.7 案例研究：管道摩擦力 198
6.8 習(xí)題 202
第7章 最優(yōu)化 213
提出問題 213
7.1 簡介與背景 214
7.2 一維最優(yōu)化 216
7.2.1 黃金分割搜索 217
7.2.2 拋物線插值 222
7.2.3 MATLAB函數(shù)：fminbnd 224
7.3 多維最優(yōu)化 225
7.4 案例研究：平衡與
極小勢能 227
7.5 習(xí)題 229
第Ⅲ部分 線性方程組
第8章 線性代數(shù)方程和矩陣 245
提出問題 245
8.1 矩陣代數(shù)概述 247
8.1.1 矩陣符號 247
8.1.2 矩陣的運算規(guī)則 249
8.1.3 將線性代數(shù)方程組表示成矩陣形式 256
8.2 用MATLAB求解線性代數(shù)方程組 257
8.3 案例研究：電路中的電流和電壓 258
8.4 習(xí)題 262
第9章 高斯消元法 269
9.1 求解小型方程組 270
9.1.1 繪圖法 270
9.1.2 行列式和克拉默法則 271
9.1.3 未知數(shù)消元法 274
9.2 樸素高斯消元法 275
9.2.1 MATLAB M文件：GaussNaive 278
9.2.2 運算次數(shù) 279
9.3 選主元 281
9.3.1 MATLAB M文件：GaussPivot 283
9.3.2 用高斯消元法計算行列式 284
9.4 三對角方程組 285
9.5 案例研究：熱桿模型 287
9.6 習(xí)題 290
第10章 LU分解 297
10.1 LU分解概述 298
10.2 高斯消元法與LU分解 299
10.2.1 使用選主元的LU分解 302
10.2.2 MATLAB函數(shù)：lu 304
10.3 楚列斯基分解 305
10.4 MATLAB的左除運算 308
10.5 習(xí)題 308
第11章 矩陣求逆和條件數(shù) 311
11.1 矩陣的逆 311
11.1.1 逆矩陣的計算 311
11.1.2 激勵-響應(yīng)計算 313
11.2 誤差分析和方程組的條件數(shù) 315
11.2.1 向量和矩陣范數(shù) 316
11.2.2 矩陣條件數(shù) 317
11.2.3 用MATLAB計算范數(shù)和條件數(shù) 319
11.3 案例研究：室內(nèi)空氣污染 320
11.4 習(xí)題 323
第12章 迭代法 329
12.1 線性方程組：高斯-賽德爾 329
12.1.1 收斂性與對角占優(yōu) 332
12.1.2 MATLAB M文件：GaussSeidel 332
12.1.3 松弛法 333
12.2 非線性方程組 335
12.2.1 逐次代換法 336
12.2.2 牛頓-拉弗森方法 337
12.2.3 MATLAB函數(shù)：
fsolve 342
12.3 案例研究：化學(xué)反應(yīng) 343
12.4 習(xí)題 345
第13章 特征值 351
提出問題 351
13.1 數(shù)學(xué)背景 352
13.2 物理背景 356
13.3 冪方法 358
13.4 MATLAB函數(shù)：eig 360
13.5 案例研究：特征值與
地震 362
13.6 習(xí)題 364
第Ⅳ部分 曲線擬合