目錄
前言
第0章 微分方程模型 1
0.1 經(jīng)濟學(xué)中的微分方程 1
0.1.1 多馬增長模型 1
0.1.2 微觀動態(tài)市場模型 3
0.1.3 具有價格預(yù)期的市場模型 4
0.1.4 通貨膨脹與失業(yè)相互作用模型 5
0.1.5 國民經(jīng)濟增長模型 7
0.1.6 廣告模型 9
0.2 人口與生態(tài)學(xué)中的微分方程 11
0.2.1 人口模型——單一群體模型 11
0.2.2 兩種群相互作用模型 17
0.3 軍事科學(xué)中的微分方程 22
0.4 日常生活中的微分方程 27
0.4.1 減肥的數(shù)學(xué)模型 27
0.4.2 湯冷卻的數(shù)學(xué)模型 29
0.4.3 宣傳運動的效果 30
0.4.4 跳傘運動員為什么能安全著地 32
0.5 數(shù)學(xué)物理中的經(jīng)典微分方程 33
0.5.1 波動方程 33
0.5.2 熱傳導(dǎo)方程 35
0.5.3 拉普拉斯方程和泊松方程 36
0.6 期權(quán)的布萊克-斯科爾斯方程 37
0.6.1 股票與期權(quán) 37
0.6.2 伊藤微分法則 38
0.6.3 投資組合的無套利原則 39
0.6.4 用偏微分方程分析期權(quán)定價理論 41
0.7 交通流的數(shù)學(xué)模型 41
0.8 最速降線問題與追線問題 44
0.8.1 最速降線問題 44
0.8.2 追線問題 47
0.9 醫(yī)學(xué)科學(xué)中的微分方程 50
0.9.1 傳染病模型 50
0.9.2 藥物在體內(nèi)的分布 54
第1章 常微分方程的基本概念 58
第2章 初等積分法 66
2.1 可分離變量方程 66
2.1.1 可分離變量方程及其解法 66
2.1.2 第一類可化成可分離變量的方程：齊次方程 72
2.1.3 第二類可化成可分離變量的方程 74
2.2 一階線性方程 78
2.2.1 一階線性方程及其解法 78
2.2.2 伯努利方程 84
2.2.3 里卡蒂方程 86
2.3 全微分方程積分因子 88
2.3.1 全微分方程 88
2.3.2 積分因子 92
2.4 一階隱式方程 99
2.5 某些可降階的方程 107
2.5.1 y（n）=f（x）型微分方程 107
2.5.2 y=f（x，y）型微分方程 107
2.5.3 y=f（y，y）型微分方程 109
2.5.4 恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程 109
2.6 初值問題解的存在唯一性定理、奇解、包絡(luò) 113
2.6.1 解的存在唯一性定理 113
2.6.2 奇解 115
2.6.3 包絡(luò) 118
第3章 一階常微分方程組 122
3.1 初等積分法 首次積分 122
3.2 向量函數(shù)與矩陣函數(shù), 解的存在唯一性定理 136
3.3 一階齊次線性方程組的一般理論 141
3.4 一階非齊次線性方程組的一般理論 148
3.4.1 通解結(jié)構(gòu) 148
3.4.2 常數(shù)變易法 149
3.5 常系數(shù)齊次線性常微分方程組的解法 153
3.6 常微分方程（組）穩(wěn)定性理論簡介 167
3.6.1 一維動力系統(tǒng)的平衡點及穩(wěn)定性 168
3.6.2 二維動力系統(tǒng)的平衡點及穩(wěn)定性 169
第4章 高階線性常微分方程 177
4.1 n 階線性常微分方程的一般理論 177
4.1.1 n 階線性常微分方程的概念 177
4.1.2 n 階齊次線性常微分方程的一般理論 179
4.1.3 n 階非齊次線性常微分方程的一般理論 182
4.2 n 階常系數(shù)齊次線性方程的解法 185
4.3 n 階常系數(shù)非齊次線性方程的解法 191
4.3.1 第一類型自由項 f（x）= Pm（x)eax 191
4.3.2 第二類型自由項 f（x） 198
4.4 可化成常系數(shù)的常微分方程 202
4.4.1 歐拉方程 202
4.4.2 通過變量變換可化成常系數(shù)線性方程的方程 204
第5章 偏微分方程的概念 208
5.1 基本概念和定義 208
5.1.1 偏微分方程的基本概念 208
5.1.2 數(shù)學(xué)問題 211
5.1.3 線性偏微分算子 213
5.2 二階兩個自變量的半線性偏微分方程的分類 215
5.2.1 二階兩個自變量的半線性偏微分方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)形 215
5.2.2 二階線性偏微分方程的通解 222
第6章 線性偏微分方程的Adomian分解法 224
6.1 Adomian分解法概述 224
6.1.1 標(biāo)準(zhǔn)Adomian分解法 224
6.1.2 Adomian分解法的消除噪聲項 227
6.1.3 修正的Adomian分解法 228
6.2 波動方程 232
6.2.1 一維波動方程 232
6.2.2 高維波動方程 236
6.3 熱傳導(dǎo)方程 241
6.3.1 一維熱傳導(dǎo)方程 241
6.3.2 高維熱傳導(dǎo)方程 243
6.4 拉普拉斯方程 247
第7章 特征線法、達朗貝爾公式和分離變量法 256
7.1 特征線法 256
7.1.1 一階（擬）線性偏微分方程的通解 256
7.1.2 一階（擬）線性偏微分方程的初值問題 262
7.2 達朗貝爾公式 反射法 271
7.2.1 達朗貝爾公式：無界弦的自由振動規(guī)律 271
7.2.2 反射法：半限長弦的自由振動規(guī)律 272
7.2.3 齊次化原理：無界弦的受迫振動規(guī)律 273
7.2.4 高維波動方程 275
7.3 分離變量法簡介 277
7.3.1 有界弦的波動方程277
7.3.2 有界桿的熱傳導(dǎo)方程 282
7.3.3 有界區(qū)域上的拉普拉斯方程 284
第8章 布萊克-斯科爾斯方程 289
8.1 傅里葉變換 289
8.1.1 傅里葉變換與逆變換 289
8.1.2 傅里葉變換法解偏微分方程 292
8.2 布萊克-斯科爾斯方程的解 294
第9章 非線性偏微分方程的Adomian分解法 298
9.1 非線性項的Adomian多項式分解 298
9.2 用Adomian分解法解非線性偏微分方程 301
9.3 數(shù)學(xué)物理中的幾個著名偏微分方程 308
9.3.1 克萊因-戈登方程 308
9.3.2 伯格斯方程 313
9.3.3 電報方程 315
9.3.4 KDV方程 317
9.4 非線性常微分方程的Adomian分解法 319
第10章 變分迭代法簡介 325
參考文獻 341
部分習(xí)題參考答案 343