第一章　牛頓力學(xué)

    物體空間位置隨時(shí)間的變化，稱為機(jī)械運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱運(yùn)動(dòng).物質(zhì)的所有運(yùn)動(dòng)形式幾乎

都涉及機(jī)械運(yùn)動(dòng)，機(jī)械運(yùn)動(dòng)是最基本的運(yùn)動(dòng)形式.力學(xué)是研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一門學(xué)科，也

是物理學(xué)乃至自然科學(xué)的基礎(chǔ)，無(wú)論是高考大綱還是競(jìng)賽大綱，對(duì)力學(xué)內(nèi)容的要求都是

最多的．

研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，力學(xué)采取的方法是由表及里，由現(xiàn)象到本質(zhì)的研究步驟.運(yùn)動(dòng)學(xué)只

對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象進(jìn)行研究，研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)內(nèi)在的規(guī)律屬于動(dòng)力學(xué)．

第一節(jié)　運(yùn)　動(dòng)　學(xué)

一、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本概念

1.參照系與質(zhì)點(diǎn)

為描述物體的運(yùn)動(dòng)而事先選定的一個(gè)靜止物體叫參照系，將坐標(biāo)系固定在參照系上

才能定量地描述物體的運(yùn)動(dòng).力學(xué)中所描述的物體的運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)的.一般情況下默認(rèn)

的參照系是地面或地面上的建筑物．

質(zhì)點(diǎn)是一個(gè)理想化的物理模型，是具有一定質(zhì)量的幾何點(diǎn).若在分析某具體問(wèn)題時(shí)，

實(shí)際物體的形狀和大小可以忽略，這個(gè)物體就能看作質(zhì)點(diǎn).通常在兩種情況下物體能夠

看作質(zhì)點(diǎn)： 該物體的幾何線度與所討論問(wèn)題中的其他物體的幾何線度相比可以忽略時(shí)；

該物體上每點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都相同時(shí)．

在物理學(xué)中，為突出所研究問(wèn)題的主要矛盾，忽略次要矛盾，常用理想模型代替實(shí)

際研究對(duì)象.這樣就能將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，便于找出基本規(guī)律．

2.位置、位移和路程

物體在某一時(shí)刻的空間位置，在直角坐標(biāo)系中用位置矢量r 來(lái)描述.位置矢量r 的

定義為自坐標(biāo)原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)位置P（ x，y，z） 所引的有向線段，大小為x2 + y2 + z2，方

向自原點(diǎn)指向P.

某質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間Δ t 后由位置P 運(yùn)動(dòng)到位置Q，則由P 指向Q 的有向線段就叫時(shí)間Δ t

內(nèi)該質(zhì)點(diǎn)的位移.位移是矢量，大小為所討論質(zhì)點(diǎn)在某段時(shí)間的始末位置間的直線距離，

方向由始點(diǎn)指向末點(diǎn).位移也是該質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)位置矢量的增量，即Δs ＝ r（ t +

Δ t） - r（ t）.

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在時(shí)間Δ t 內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為路程.路程是標(biāo)量.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作單向直線運(yùn)

動(dòng)時(shí)，或我們所討論時(shí)間Δ t 極小時(shí)，路程和位移的大小相等．

3.速度與速率

速度與速率是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)快慢的物理量．

質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)通過(guò)的位移與所用時(shí)間的比值為平均速度，說(shuō)明這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)快慢的平均效應(yīng)，表示為

-

＝ Δs

Δ t ； 若所用時(shí)間Δ t ?0，則上述比值為質(zhì)點(diǎn)在某一位

置或某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱速度，表示為＝ lim Δ t ?0

Δs

Δ t.速度是矢量，方向?yàn)槲灰痞�s

的方向．

質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程與所用時(shí)間的比值為平均速率； 若所用時(shí)間Δ t ?0 ，

則上述比值為質(zhì)點(diǎn)在某一位置或某一時(shí)刻的瞬時(shí)速率，簡(jiǎn)稱速率.速率是標(biāo)量．

4.加速度

加速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化快慢的物理量．

質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)速度的增量與所用時(shí)間的比值為平均加速度，說(shuō)明這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化快慢的平均效應(yīng)，表示為a ＝ Δ 　

Δ t ； 若所用時(shí)間Δ t ?0，則上述比值為質(zhì)點(diǎn)在

某一位置或某一時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，簡(jiǎn)稱加速度，表示為a ＝ lim Δ t ?0

Δ 　

Δ t.加速度是矢量，

方向?yàn)樗俣仍隽喀?　的方向．

【例1】已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為x ＝ （ t2 + 4）m，試求第1 秒末到第2 秒末這段時(shí)

間內(nèi)的平均速度以及這兩個(gè)時(shí)刻的速度和加速度．

【解析】平均速度大小為

v ＝ Δ s

Δ t ＝ x2 - x1

t2 - t1

＝ （ t22

+ 4） - （ t21

+ 4）

t2 - t1

＝ 8 - 5

2 - 1 ＝ 3m/s

方向沿x 軸的正方向．

瞬時(shí)速度大小為

v ＝ lim Δ t ?0

Δ s

Δ t ＝ lim Δ t ?0

（ t + Δ t）2 + 4 - （ t2 + 4）

Δ t ＝ lim Δ t ?0

2 t Δ t + Δ t2

Δ t ＝ 2 tm/s

方向沿x 軸的正方向.將t1 ＝ 1s，t2 ＝ 2s 代入上式，得第1 秒末和第2 秒末的速度大小分

別為

v 1 ＝ 2m/s，v 2 ＝ 4m/s

瞬時(shí)加速度大小為

a ＝ lim Δ t ?0

Δ v

Δ t ＝ lim Δ t ?0

2（ t + Δ t） - 2 t

Δ t ＝ lim Δ t ?0

2 Δ t

Δ t ＝ 2m/s2

方向沿x 軸的正方向.加速度為恒量，與時(shí)間無(wú)關(guān)．

二、運(yùn)動(dòng)的合成

1.矢量和標(biāo)量

一個(gè)量不僅有大小，還有方向，這個(gè)量就是矢量.若某個(gè)量只用大小描述，這個(gè)量

則為標(biāo)量.位移、速度、加速度等物理量是矢量，質(zhì)量、時(shí)間、路程等物理量為標(biāo)量．

標(biāo)量間的運(yùn)算為代數(shù)運(yùn)算.矢量間的求和遵循平行四邊形法則或多邊形法則.矢量

能合成，也能分解.對(duì)多個(gè)矢量的求和通常采用的是先將矢量分解在相互垂直的兩個(gè)或

三個(gè)方向上，求得各個(gè)方向上的合量后再合成為一個(gè)矢量的方法，即正交分解法．

2.運(yùn)動(dòng)的合成

運(yùn)動(dòng)的合成實(shí)際上是描述運(yùn)動(dòng)的位移、速度、加速度等物理量的合成，因此運(yùn)動(dòng)的

合成也遵循平行四邊形法則．

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述與參照物有關(guān).我們一般將物體相對(duì)默認(rèn)參照系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)

動(dòng)，而相對(duì)其他物體的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，作為參照系的物體相對(duì)默認(rèn)參照系的運(yùn)動(dòng)叫

做牽連運(yùn)動(dòng)，按運(yùn)動(dòng)的合成規(guī)律，有

v絕對(duì)＝ v相對(duì)+ v牽連　　a絕對(duì)＝ a相對(duì)+ a牽連　　r絕對(duì)＝ r相對(duì)+ r牽連

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所作運(yùn)動(dòng)是較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)時(shí)，為計(jì)算方便，我們常把質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為幾個(gè)

簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)來(lái)分別研究.這時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，分解后的運(yùn)動(dòng)為分運(yùn)動(dòng).無(wú)

論空間是否存在其他運(yùn)動(dòng)，任何一個(gè)分運(yùn)動(dòng)都遵循自身的規(guī)律，這就是運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原

理.如拋體運(yùn)動(dòng)就分解為水平的勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．

【例2】設(shè)河水流速為v 1，小船在靜水中航行的速度為v 2，若小船從一岸行駛到對(duì)

岸，問(wèn)當(dāng)船的航行方向怎樣時(shí)，才能（1） 小船所花時(shí)間最短； （2） 小船所經(jīng)過(guò)的路程

最短？

圖1-1

【解析】以地球?yàn)閰⒄瘴�，小船渡河的速度為水流速度與船速

的矢量和．

（1） 小船渡河到對(duì)岸所花的時(shí)間只與船速有關(guān)，要使時(shí)間最

短，必須讓航行方向垂直水流指向?qū)Π叮?/span>

（2） 當(dāng)v 2 ＞ v 1 時(shí)，最短的路程就是河寬，此時(shí)船的運(yùn)動(dòng)方向

圖1-2

指向?qū)Π?如圖1 -1 所示，船行的方向偏向上游，與兩岸垂線的角

度為α ＝ arcsinv 1 / v 2.

當(dāng)v 1 ＞ v 2 時(shí)，小船不可能垂直于對(duì)岸運(yùn)動(dòng)，但可以找到一個(gè)

運(yùn)動(dòng)方向使得路程最短.如圖1 -2 所示，設(shè)河寬為s，小船的矢量

三角形Ov v 1 中，設(shè)∠ Ov v 1 ＝ θ，由正弦定理得v 2

sinβ ＝ v 1

sinθ，可得

sinβmax ＝ v 2

v 1

.由此可見(jiàn)，只有當(dāng)θ ＝ π/2 時(shí)，即合速度與船速垂直時(shí)，小船才有最短路

程.此時(shí)船的航行方向偏向上游，與水流的夾角為

π

2 + arcsin v 2

v 1

，其經(jīng)過(guò)的路程為

式中s 為河寬．

3.物體系統(tǒng)的速度

對(duì)于由物體組成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，各物體也可以有相對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，這些物

體的運(yùn)動(dòng)速度滿足下列規(guī)律：

① 剛性桿、繃緊的繩上各點(diǎn)在同一時(shí)刻具有相同的沿桿、繩的分速度；

② 不同的接觸物在接觸面法線方向的分速度相同，切向分速度在無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)也

相同；

③ 系統(tǒng)組成線狀交叉物時(shí)，交叉點(diǎn)的速度是相交物沿雙方切向運(yùn)動(dòng)分速度的矢量和．

三、拋體運(yùn)動(dòng)

1.平拋運(yùn)動(dòng)

只受自身重力作用并具有水平初始速度的物體在空中的運(yùn)動(dòng)為平拋運(yùn)動(dòng).一般將平

拋運(yùn)動(dòng)在平面直角坐標(biāo)系中分解為水平方向以初始速度v 0 為恒定速度的勻速直線運(yùn)動(dòng)和

豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng).其相關(guān)量為

（1） 位移

水平方向　x ＝ v 0 t

豎直方向　y ＝ 12

gt2

合位移　大小s ＝ x2 + y2 ＝ （ v 0 t）2 + 12

gt2

2

方向α ＝ arctan gt

2 v 0

，α 為位移與水平方向的夾角．

（2） 速度

水平方向　v x ＝ v 0

豎直方向　v y ＝ gt

合速度　大小v ＝ v x

2 + v y

2 ＝ v 0

2 + （ gt）2

方向β ＝ arctan gt

v 0

，β 為速度與水平方向的夾角．

（3） 加速度

直角坐標(biāo)系　ax ＝ 0，ay ＝ g

自然坐標(biāo)系　an ＝ gcosα ＝

g v 0

v20

+ （ gt）2 ，aτ ＝ gsinα ＝ g2 t

v20

+ （ gt）2

（4） 軌跡

由水平方向和豎直方向位移公式消去時(shí)間參數(shù)t，得y ＝ g

2 v20

x2.此軌跡曲線為過(guò)原

點(diǎn)的拋物線（如圖1 -3 所示），v 0 越大，圖線張開(kāi)程度越

大，射程越大．

2.斜拋運(yùn)動(dòng)

只受自身重力作用且初始速度與水平方向成一定夾角的

物體在空中的運(yùn)動(dòng)為斜拋運(yùn)動(dòng).初速度有一定仰角的叫斜上

拋運(yùn)動(dòng)，初速度有一定俯角的叫斜下拋運(yùn)動(dòng)．

仰角為θ 斜上拋運(yùn)動(dòng)可按如下方式分解．

（1） 將斜拋運(yùn)動(dòng)在平面直角坐標(biāo)系中分解為水平方向的

勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的上拋運(yùn)動(dòng).其相關(guān)量為

1） 位移

水平方向　x ＝ v 0 cosθ ? t

豎直方向　y ＝ v 0 sinθ ? t - 12

gt2

2） 速度

水平方向　v x ＝ v 0 cosθ

豎直方向　v y ＝ v 0 sinθ - gt

3） 加速度

水平方向　ax ＝ 0

豎直方向　ay ＝ g

4） 軌跡　由位移關(guān)系消去時(shí)間參數(shù)t，得

　　　　　y ＝ x tanθ - g

2 v20

cos2 θx2

5） 特征量

飛行時(shí)間　T ＝ 2 v 0 sinθ

g

射高　　　H ＝ v20

sin2 θ

2 g

射程　　　S ＝ v20

sin2θ

g

（2） 將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速方向的斜向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體

運(yùn)動(dòng)．

（3） 若在斜面上討論斜拋運(yùn)動(dòng)，可沿斜面和垂直斜面方向作x 、y 軸，把初速度和

加速度都分解在此二方向上，物體在這兩個(gè)方向上作勻加速直線運(yùn)動(dòng)．

【例3】一倉(cāng)庫(kù)高20m 、寬40m，在倉(cāng)庫(kù)前某處A 點(diǎn)拋一石塊過(guò)屋頂.試問(wèn)： A 距倉(cāng)

庫(kù)前多遠(yuǎn)，所需初速度v 0 最小且具體值為多少？ （ g ＝ 10m/s2 ）

【解析】如圖1 -4 建立坐標(biāo)系.要使v 0 最小，則要求石塊擦著倉(cāng)庫(kù)邊緣B 、C 兩點(diǎn)

飛過(guò)，而對(duì)BC 段的討論就是對(duì)射程的討論.如圖1 -4 ，

S B C ＝ v 2

B sin2α

g

v 2

B ＝ S B C g

sin2α

可見(jiàn)，當(dāng)α ＝ 45° 時(shí)，v B 有最小值，為v B min ＝

S B C g ＝ 40 × 10 ＝ 20 （m/s）.

現(xiàn)在以- v B 為初速作斜向下拋運(yùn)動(dòng)，則可求A 點(diǎn)距倉(cāng)庫(kù)的距離l.

設(shè)由B 到A 的時(shí)間為t，有

h ＝ v B y t + 12

gt2

將h ＝ 20m 代入，可求得時(shí)間的有效值為t ＝ 6 - 2 s.則有l(wèi) ＝ v B x t ＝ 14暢6m.對(duì)初速

v 0 x ＝ v B x ＝ 10 2 m/s

v 0 y ＝ v B y + gt ＝ 10 6 m/s

v 0 ＝ v 2

B x + v 2

B y ＝ 28暢2m/s

tanθ ＝

v 0 y

v 0 x

＝ 3，θ ＝ 60°

四、圓周運(yùn)動(dòng)

1.勻速圓周運(yùn)動(dòng)

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為圓，并且在任何相等時(shí)間內(nèi)走過(guò)的圓弧長(zhǎng)度都相等的運(yùn)動(dòng)就是勻

速圓周運(yùn)動(dòng).勻速圓周運(yùn)動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)走過(guò)一個(gè)圓周所用時(shí)間為周期，用T 表

示； 在單位時(shí)間內(nèi)走過(guò)的圓圈數(shù)是頻率，用f 表示.周期與頻率互為倒數(shù)，即T ＝ 1/ f.

T 與f 都是常數(shù).若圓周半徑為r，質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間t 內(nèi)走過(guò)的弧長(zhǎng)為s，該弧長(zhǎng)所對(duì)圓心角

為θ，則角速度ω ＝ θ/ t ＝ 2π/ T ＝ 2π f ； 線速度大小v ＝ s/ t ＝ 2π r/ T ＝ 2π rf ＝ ω r，方向沿

圓周某點(diǎn)的切線方向.線速度大小不變，因此沿軌跡切線方向的切向加速度aτ ＝ 0 ； 但

速度方向要變化，與速度方向垂直且指向圓心的法向加速度an ＝ v 2 / r ＝ ω 2 r 為勻速圓周

運(yùn)動(dòng)的加速度.雖然法向加速度的大小是常數(shù)，但方向在不停變化，因而勻速圓周運(yùn)動(dòng)

是變加速運(yùn)動(dòng)．

2.非勻速圓周運(yùn)動(dòng)

角速度或線速度的大小都在變化的圓周運(yùn)動(dòng)叫非勻速圓周運(yùn)動(dòng).非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的

加速度一般分解為切向加速度和法向加速度，即a ＝ an + aτ，其中aτ ＝ lim Δ t ?0

Δ v

Δ t，an ＝

v 2

r.切向加速度描述速度大小的變化，法向加速度描述速度方向的變化.若令β 為角加

速度，描述角速度隨時(shí)間的變化，則切向加速度aτ ＝ lim Δ t ?0

Δ v

Δ t ＝ r lim Δ t ?0

Δ ω

Δ t ＝ rβ.

對(duì)于一般曲線運(yùn)動(dòng)的加速度，我們也總是用切向加速度和法向加速度作為分加速度，